Задание 14. Стереометрическая задача: все задания

Ответом к заданию по математике может быть целое число, конечная десятичная дробь (записывайте её через запятую, вот так: 2,5) или последовательность цифр (пишите без пробелов: 97531).

Версия для печати

1. Задание#T30148

Точки и — середины рёбер

куба

соответственно.

Докажите, что прямая перпендикулярна прямой
Пусть — проекция точки на прямую Найдите если

Показать разбор

А. Пусть ребро куба равно Отметим на ребре

такую точку что

Прямая

параллельна прямой

следовательно необходимо проверить, что

По теореме Пифагора вычислим длины сторон треугольника

Поскольку

по теореме, обратной теореме Пифагора, получаем, что

т. е. прямая

перпендикулярна прямой

Б. Поскольку прямая

перпендикулярна прямой

проекции точек и на прямую

совпадают. В прямоугольном треугольнике

имеем

откуда

Ответ: Б.

Это задание составили эксперты «СтатГрада» для Яндекса

Это задание решали 11 тыс. раз. С ним справились 34% пользователей.

2. Задание#T30129

Точки и — середины рёбер

куба

соответственно.

Докажите, что прямая перпендикулярна прямой
Пусть — проекция точки на прямую Найдите если

Показать разбор

А. Пусть ребро куба равно Отметим на ребре

такую точку что

Прямая

параллельна прямой

следовательно, необходимо проверить, что

По теореме Пифагора вычислим длины сторон треугольника

Поскольку

по теореме, обратной теореме Пифагора, получаем, что

т. е. прямая

перпендикулярна прямой

Б. Поскольку прямая

перпендикулярна прямой

проекции точек и на прямую

совпадают. В прямоугольном треугольнике

имеем

откуда

Ответ: Б.

Это задание составили эксперты «СтатГрада» для Яндекса

Это задание решали 5 тыс. раз. С ним справились 35% пользователей.

3. Задание#T29535

В правильной четырёхугольной призме

на ребре

отмечена точка причём

Через точки и проведена плоскость параллельная прямой

и пересекающая ребро

в точке

Докажите, что точка — середина ребра
Найдите площадь сечения призмы плоскостью если

Показать разбор

А. Плоскость

проходит через прямую

параллельную плоскости и имеет с плоскостью общую точку значит, эти плоскости пересекаются по прямой проходящей через точку параллельно

Пусть прямая

пересекает ребро

в точке Тогда плоскости и

пересекаются по прямой

причём

Плоскость пересекает параллельные плоскости

по параллельным прямым

Пусть прямая, проходящая через точку параллельно

пересекает ребро

в точке Тогда

Из равенства треугольников

следует, что

Значит

Следовательно, точка — середина ребра

Б. Плоскость проходит через прямую

параллельную плоскости

и пересекает эту плоскость по прямой проходящей через точку параллельно

а значит, и

По теореме о трёх перпендикулярах

поэтому

— линейный угол двугранного угла образованного плоскостями и

Из прямоугольного треугольника

находим, что

Тогда

Ортогональная проекция сечения

на плоскость

— квадрат

площадь которого равна Следовательно, площадь сечения равна

Ответ: Б.

Это задание составили эксперты МЦНМО

4. Задание#T29534

В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки и а на окружности другого основания — точки и

причём

— образующая цилиндра, а отрезок

пересекает ось цилиндра.

Докажите, что прямые и перпендикулярны.
Найдите площадь осевого сечения цилиндра, если

Показать разбор

А. Пусть — точка на окружности того основания цилиндра, которое содержит и а

— образующая цилиндра. Поскольку прямая

пересекает ось цилиндра, отрезок

— диаметр этого основания. Кроме того,

— прямоугольник, поэтому

Точка лежит на окружности с диаметром

значит,

Следовательно,

Б. Поскольку

— диаметр основания цилиндра, осевым сечением является прямоугольник

где — точка на окружности того основания цилиндра, которое содержит и

— образующая цилиндра.

Из прямоугольного треугольника

находим, что

Следовательно

Ответ: Б.

Это задание составили эксперты МЦНМО

5. Задание#T29533

В правильной пирамиде

точки и — середины рёбер

соответственно. На боковом ребре

отмечена точка Сечение пирамиды плоскостью

является четырёхугольником, диагонали которого пересекаются в точке

Докажите, что точка лежит на высоте пирамиды.
Найдите угол между плоскостями и если и

Показать разбор

А. Пусть — центр основания пирамиды, — точка пересечения плоскости

с прямой

Прямые

лежат в плоскости

и не параллельны, значит, они пересекаются. Аналогично, прямые

также пересекаются. Кроме того, прямые

пересекаются в точке Итак, три прямые

попарно пересекаются и не лежат в одной плоскости. Значит, они проходят через одну точку — точку пересечения диагоналей четырёхугольника

(прямая

пересекает прямые

поэтому она проходит через их точку пересечения). Следовательно, точка лежит на высоте

пирамиды.

Б. Прямая

параллельна плоскости

так как она параллельна прямой

лежащей в этой плоскости (

— средняя линия треугольника

). Значит, плоскости

пересекаются по прямой

параллельной

Тогда четырёхугольник

— равнобокая трапеция с основаниями

Пусть — середина ребра

— точка пересечения

Тогда — середина

Плоскость

перпендикулярна прямой

пересечения плоскостей

поэтому искомый угол — это угол

Далее находим:

Из параллельности прямых

получаем, что

Пусть — ортогональная проекция точки на плоскость основания пирамиды. Тогда точка лежит на отрезке

причём

Значит

Следовательно

Ответ: Б.

Это задание составили эксперты МЦНМО

6. Задание#T29532

Сечением прямоугольного параллелепипеда

плоскостью содержащей прямую

и параллельной прямой

является ромб.

Докажите, что грань — квадрат.
Найдите угол между плоскостями и если

Показать разбор

А. Плоскость

проходит через прямую

параллельную плоскости и имеет с плоскостью общую точку следовательно, эти плоскости пересекаются по прямой проходящей через точку параллельно

Пусть прямая

пересекает прямые

в точках и соответственно, — точка пересечения

— точка пересечения

Тогда сечение параллелепипеда плоскостью — ромб

Поскольку

четырёхугольник

— параллелограмм, поэтому

Треугольники

равны по стороне и двум прилежащим к ней углам, следовательно, — середина

Аналогично докажем, что — середина

поэтому

— средняя линия треугольника

а так как

(как диагонали ромба), то

Тогда по теореме о трёх перпендикулярах

т. е. диагонали прямоугольника

перпендикулярны, следовательно, это квадрат.

Б. Плоскости и

пересекаются по прямой

— перпендикуляр к плоскости

Пусть

— высота прямоугольного треугольника

Тогда по теореме о трёх перпендикулярах

Значит,

— линейный угол двугранного угла, образованного плоскостями и

Тогда

Ответ: Б.

Это задание составили эксперты МЦНМО

7. Задание#T29531

Дана четырёхугольная пирамида

в основании которой лежит прямоугольник

Основанием высоты пирамиды является точка пересечения диагоналей основания. Известно, что

Из точек и опущены перпендикуляры

на ребро

Докажите, что — середина
Найдите угол между гранями и если

Показать разбор

А. Высота пирамиды проходит через центр окружности, описанной около основания, значит, боковые рёбра пирамиды равны. Обозначим

Тогда

или

откуда

Из равнобедренного треугольника

аналогично находим, что

Следовательно,

т. е. — середина

Б. В равнобедренном треугольнике

через точку лежащую на боковой стороне

проведём прямую, параллельную высоте

Пусть — точка её пересечения со стороной

По теореме Фалеса — середина

Значит,

Из равнобедренного треугольника

находим, что

Из прямоугольного треугольника

находим, что

Так как

то

— линейный угол двугранного угла между гранями

По теореме косинусов

Следовательно,

Ответ: Б.

Это задание составили эксперты МЦНМО

8. Задание#T29530

На ребре

правильной четырёхугольной пирамиды

с основанием

отмечена точка

причём

Точки и — середины рёбер

соответственно.

Докажите, что сечение пирамиды плоскостью является равнобедренной трапецией.
Найдите отношение объёмов многогранников, на которые плоскость разбивает пирамиду.

Показать разбор

А. Прямая

параллельна плоскости

так как эта прямая параллельна прямой

лежащей в плоскости

Плоскость

проходит через прямую

параллельную плоскости

и пересекает эту плоскость по прямой проходящей через точку

значит, прямая

параллельна прямой

Пусть прямая

пересекает ребро

в точке Тогда

— трапеция, так как

Из равенства треугольников

следует, что

поэтому эта трапеция равнобедренная.

Б. Пусть объём данной пирамиды равен Тогда объём четырёхугольной пирамиды

основание которой — прямоугольник

равен

Плоскость

разбивает её на две треугольные пирамиды, объём каждой из которых равен

Плоскость

отсекает от треугольной пирамиды

треугольную пирамиду

объём которой равен

Эта же плоскость отсекает от треугольной пирамиды

треугольную пирамиду

объём которой равен

Значит, плоскость

отсекает от четырёхугольной пирамиды

четырёхугольную пирамиду

объём которой равен

Тогда объём оставшейся части четырёхугольной пирамиды

равен

Таким образом, плоскость

разбивает данную пирамиду

на два многогранника с объёмами

Следовательно, отношение объёмов этих многогранников равно

Ответ: Б.

Это задание составили эксперты МЦНМО

9. Задание#T29529

Основанием прямой четырёхугольной призмы

является ромб

Докажите, что прямые и перпендикулярны.
Найдите объём призмы, если

Показать разбор

А. Диагонали ромба перпендикулярны, поэтому

Данная призма прямая, поэтому

— перпендикуляр к плоскости

Значит, прямая

— ортогональная проекция наклонной

на эту плоскость. Следовательно, по теореме о трёх перпендикулярах

Б. Обозначим

Пусть — центр ромба

Из прямоугольного треугольника

находим, что

Значит,

Из прямоугольного треугольника

получаем, что

или

откуда

Следовательно,

Ответ: Б.

Это задание составили эксперты МЦНМО

10. Задание#T29528

В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки

и а на окружности другого основания — точка

причём

— образующая цилиндра, а отрезок

— диаметр основания. Известно, что

Докажите, что угол между прямыми и равен
Найдите расстояние от точки до прямой

Показать разбор

А. Точка лежит на окружности с диаметром

поэтому

Из прямоугольного треугольника

находим, что

Через точку проведём прямую, параллельную

Пусть она пересекает окружность основания в точке Значит, угол между скрещивающимися прямыми

равен углу между пересекающимися прямыми

Четырёхугольник

— прямоугольник, поэтому

Из прямоугольного треугольника

находим, что

Отрезок

— ортогональная проекция наклонной

на плоскость основания цилиндра, причём

Значит, по теореме о трёх перпендикулярах

а равнобедренный треугольник

— прямоугольный. Следовательно, угол между прямыми

равен углу

равному

Б. Отрезок

— ортогональная проекция наклонной

на плоскость

При этом

Значит, по теореме о трёх перпендикулярах

то есть треугольник

прямоугольный. Расстояние от точки до прямой

равно высоте

этого треугольника, проведённой из вершины прямого угла. По теореме Пифагора

а так как

то

Ответ: Б.

Это задание составили эксперты МЦНМО

11. Задание#T29527

Основанием прямой треугольной призмы

является прямоугольный треугольник

с прямым углом Прямые

перпендикулярны.

Докажите, что
Найдите расстояние между прямыми и если и

Показать разбор

А. Прямая

перпендикулярна плоскости

так как

Поскольку

то

— перпендикуляр к плоскости

— ортогональная проекция наклонной

на эту плоскость. По условию задачи

значит, по теореме о трёх перпендикулярах

Диагонали прямоугольника

перпендикулярны, значит, это квадрат. Следовательно,

Б. Пусть — основание перпендикуляра, опущенного из центра квадрата

на прямую

Прямая

перпендикулярна плоскости

так как

Значит,

— общий перпендикуляр скрещивающихся прямых

Тогда расстояние между этими прямыми равно длине отрезка

то есть половине высоты

прямоугольного треугольника

опущенной из вершины прямого угла. Из прямоугольных треугольников

находим, что

поэтому

Следовательно,

Ответ: Б.

Это задание составили эксперты МЦНМО

12. Задание#T29526

Длина диагонали куба

равна На луче

отмечена точка так, что

Докажите, что — правильный тетраэдр.
Найдите длину отрезка

Показать разбор

А. Поскольку

получаем

Известно, что диагональ

перпендикулярна плоскости

проходит через центр равностороннего треугольника

и делится им в отношении

считая от точки Значит

— высота правильной треугольной пирамиды

с вершиной

Пусть — центр квадрата

Тогда

Из прямоугольного треугольника

находим, что

Аналогично

Таким образом, все грани пирамиды

— правильные треугольники (со стороной

). Следовательно, это правильный тетраэдр.

Б. Точка лежит в плоскости

так как она лежит на прямой

лежащей в этой плоскости. Длину отрезка

найдём из треугольника

Обозначим

Тогда

Следовательно

Ответ: Б.

Это задание составили эксперты МЦНМО

13. Задание#T9248

Все рёбра правильной треугольной призмы

имеют длину Точки и

середины рёбер

соответственно.

а) Докажите, что прямые

перпендикулярны.

б) Найдите угол между плоскостями

Показать разбор

а) Пусть точка — середина

Тогда

Вместе с тем

тогда по теореме, обратной теореме Пифагора, треугольник

является прямоугольным с прямым углом

б) Проведём перпендикуляр

к прямой

Тогда

Следовательно,

Поэтому

проекция

на плоскость

Прямая

перпендикулярна

тогда по теореме о трёх перпендикулярах

Следовательно, угол

линейный угол искомого угла.

Длина

равна половине высоты треугольника

т.е.

Поэтому

Следовательно,

Ответ:

б)

Это задание взято из демовариантов ФИПИ 2018-2020

Это задание решали 45 тыс. раз. С ним справились 8% пользователей.

14. Задание#T7950

В правильной четырёхугольной призме

стороны основания равны а боковые ребра —

. На рёбрах

отмечены точки и соответственно, причём

. Плоскость параллельна прямой

и содержит точки и .

Докажите, что прямая перпендикулярна плоскости .
Найдите расстояние от точки до плоскости .

Показать разбор

A. Проведем через точки и прямые, параллельные

. Пусть первая пересечется с прямой

в точке , а с прямой

в точке . Тогда трапеция

является сечением исходной призмы плоскостью .

Построим сечение

. Оно пересекает отрезки

в точках и соответственно.

По теореме Пифагора

. Из подобия треугольников

видим, что

. Аналогичным образом, пользуясь подобием

, получаем, что

Опустим из точки перпендикуляр к прямой

. Обозначим за его основание, а за и — точку пересечения

соответственно.

Значит

но

, откуда следует, что

. И еще также обратим внимание, что

(как вертикальные). А значит

Б. Так как прямая

параллельна плоскости , то расстояние от любой точки прямой

до плоскости будет одинаковым. Задача свелась к поиску расстояния от точки до плоскости .

Проведем отрезок

такой, что

Прямая

параллельна

(как соответственные) треугольник

подобен треугольнику

Ответ: Б.

Это задание составили эксперты ЕГЭ-life для Яндекса

Это задание решали 30 тыс. раз. С ним справились 4% пользователей.

15. Задание#T7537

Через середину бокового ребра правильной треугольной пирамиды проведена плоскость , перпендикулярная этому ребру. Известно, что она пересекает остальные боковые рёбра и разбивает пирамиду на два многогранника, объёмы которых относятся как к .