Длина диагонали куба ABCDA_1B_1C_1D_1 равна 3. На луче A_1C отмечена точка P так, что A_1P = 4. Докажите, что PBDC_1 — правильный тетраэдр. Найдите длину отрезка AP. | Яндекс.Репетитор | ЕГЭ-2020 по профильной математике

Версия для печати

Задание#T29526

Длина диагонали куба

равна На луче

отмечена точка так, что

Докажите, что — правильный тетраэдр.
Найдите длину отрезка

Показать разбор

А. Поскольку

а

получаем

Известно, что диагональ

перпендикулярна плоскости

проходит через центр равностороннего треугольника

и делится им в отношении

считая от точки Значит

а

— высота правильной треугольной пирамиды

с вершиной

Пусть — центр квадрата

Тогда

Из прямоугольного треугольника

находим, что

Аналогично

Таким образом, все грани пирамиды

— правильные треугольники (со стороной

). Следовательно, это правильный тетраэдр.

Б. Точка лежит в плоскости

так как она лежит на прямой

лежащей в этой плоскости. Длину отрезка

найдём из треугольника

Обозначим

Тогда

Следовательно

Ответ: Б.

Это задание составили эксперты МЦНМО

Это задание в разделах:

Стереометрическая задача

Рекомендованные задания

Для составления персональной подборки решено недостаточно заданий.

Повышайте свой балл на экзамене!

Решать задания

0 баллов сегодня

дней без пропуска

0

пт

0

сб

0

вс

0

пн

0

вт

0

ср

0

чт