На ребре правильной четырёхугольной пирамиды с
основанием отмечена точка причём Точки и
— середины рёбер и соответственно.
Докажите, что сечение пирамиды плоскостью является равнобедренной трапецией.
Найдите отношение объёмов многогранников, на которые плоскость разбивает пирамиду.
Показать разбор
А. Прямая параллельна плоскости так как эта прямая
параллельна прямой лежащей в плоскости Плоскость проходит через прямую параллельную плоскости и пересекает
эту плоскость по прямой проходящей через точку значит, прямая
параллельна прямой Пусть прямая пересекает ребро в точке
Тогда — трапеция, так как и Из равенства
треугольников и следует, что поэтому эта трапеция
равнобедренная.
Б. Пусть объём данной пирамиды равен Тогда объём четырёхугольной
пирамиды основание которой — прямоугольник равен Плоскость разбивает её на две треугольные пирамиды, объём каждой
из которых равен
Плоскость отсекает от треугольной пирамиды
треугольную пирамиду объём которой равен
Эта же плоскость отсекает от треугольной пирамиды треугольную
пирамиду объём которой равен
Значит, плоскость отсекает от четырёхугольной пирамиды четырёхугольную пирамиду объём которой равен
Тогда объём оставшейся части четырёхугольной пирамиды равен
Таким образом, плоскость разбивает данную пирамиду на два
многогранника с объёмами и Следовательно, отношение
объёмов этих многогранников равно