Задание 19. Уметь выполнять вычисления и преобразования: все задания

Ответом к заданию по математике может быть целое число, конечная десятичная дробь (записывайте её через запятую, вот так: 2,5) или последовательность цифр (пишите без пробелов: 97531).

Версия для печати

121. Задание#T7314

На шести карточках написаны цифры ; ; ; ; ; (по одной цифре на каждой карточке). В выражении

вместо каждого квадратика положили карточку из данного набора. Оказалось, что полученная сумма делится на , но не делится на .

В ответе укажите какую-нибудь одну такую сумму.

Показать разбор и ответ

Указание:

Вспомните признаки делимости на и на .

Решение:

Чтобы сумма делилась на , она должна заканчиваться на , а чтобы сумма не делилась на , вторая цифра с конца не должна быть чётной (делиться на ). Чтобы в конце суммы получить , можно выбрать следующие цифры: , , и , , . Рассмотрим каждую из двух комбинаций.

Случай : комбинация цифр , , .

Среди оставшихся цифр , , две нечётные и одна чётная. Чтобы получить нечётную вторую цифру, нужно взять одну чётную () и одну нечётную цифры ( или ), поскольку во втором разряде к нечётной сумме будет добавляться от суммы цифр в первом разряде, так как

. Тогда получаем

Заметим, что последовательность последних цифр и последовательность предпоследних цифр в числах никак не влияет на результат.

Случай : комбинация , ,

. Тогда получаем

Ответ: 670 или 850 или 1030

Это задание составили эксперты «СтатГрада» для Яндекса

Это задание решали 4 тыс. раз. С ним справились 27% пользователей.

122. Задание#T4354

Четырёхзначное число состоит из цифр , , , , а четырёхзначное число — из цифр , , , . Известно, что

Найдите число .

В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Показать разбор и ответ

3 аналогичных задания

Указание:

Подумайте, какими могут быть последние цифры чисел и .

Решение:

, следовательно — чётное, оканчивается цифрой или . Если последняя цифра числа — , то число может оканчиваться на или . Например, числа

или

. Если последняя цифра числа — , то число может оканчиваться на (но в этом случае невозможно составить четырёхзначное

) или . Например, числа

Здесь приведён пример подбора, полного перебора вариантов данное решение не содержит!

Ответ: 1065 или 1506 или 1560 или 1605

Это задание составили эксперты «СтатГрада» для Яндекса

Это задание решали 4 тыс. раз. С ним справились 25% пользователей.

123. Задание#T4274

Найдите четырёхзначное число, кратное

, все цифры которого различны и нечётны.

В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Показать разбор и ответ

3 аналогичных задания

Указание:

Определите последние две цифры числа, и останется не так много вариантов.

Решение:

Число, кратное

, может оканчиваться на , , и . Только окончание состоит из различных нечётных цифр. Например, условию удовлетворяет число

Здесь приведён пример подбора, полного перебора вариантов данное решение не содержит!

Ответ: 1375 или 9375

Это задание составили эксперты «СтатГрада» для Яндекса

Это задание решали 6 тыс. раз. С ним справились 26% пользователей.

124. Задание#T3298

Найдите четырёхзначное число, большее

, но меньшее

, которое делится на и каждая следующая цифра которого больше предыдущей.

В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Показать разбор и ответ

3 аналогичных задания

Указание:

Воспользуйтесь тем, что — это произведение взаимно простых чисел и , и вспомните признаки делимости на и на .

Решение:

Рассмотрим числа от

до

. Вторая цифра может быть , , , , . Последняя цифра может быть или . При этом сумма цифр должна делиться на . Перебором этих вариантов найдём, что только число

удовлетворяет этим условиям. Аналогично рассмотрим числа от

до

Ответ: 2358 или 3456

Это задание составили эксперты «СтатГрада» для Яндекса

Это задание решали 9 тыс. раз. С ним справились 18% пользователей.

125. Задание#T1760

Найдите такое трехзначное число, которое от перестановки первой и второй его цифр увеличится в

раза.

Показать разбор и ответ

1 аналогичное задание

Пусть искомое число содержит сотен, десятков и

единиц, то есть имеет вид

, в результате перестановки первой и второй его цифр получится число

По условию задачи

откуда следует, что

, тогда

, а

Таким образом, искомое число равно

Ответ: 450

Это задание взято из Яндекс.ЕГЭ

Это задание решали 1 тыс. раз. С ним справились 33% пользователей.

126. Задание#T1740

При сложении двух натуральных чисел ученик по ошибке поставил во втором слагаемом лишнюю четверку в конце числа и получил в сумме

вместо

. Определите первоначальные слагаемые. В ответе укажите меньшее из них.

Показать разбор и ответ

Пусть второе слагаемое состоит из сотен, десятков и

единиц

Тогда число, записанное по ошибке, имеет вид

По условию задачи

Так как при сложении двух чисел в сумме должно было получиться

то число

— меньшее из слагаемых.

Ответ: 193

Это задание взято из Яндекс.ЕГЭ

Это задание решали 1 тыс. раз. С ним справились 23% пользователей.

127. Задание#T1620

Найдите пятизначное число, кратное , любые две соседние цифры которого отличаются на . В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Показать разбор и ответ

4 аналогичных задания

Искомое число делится на следовательно, оканчивается на цифру

Предпоследняя цифра числа равна

Средняя цифра числа может быть

или

В первом случае вторая цифра числа равна

тогда первая его цифра но число

не делится на Во втором случае вторая цифра числа равна

или

Из возможных вариантов чисел

только первое делится на

Ответ: 42420

Это задание взято из Яндекс.ЕГЭ

Это задание решали 2 тыс. раз. С ним справились 22% пользователей.

128. Задание#T1553

Произведение цифр четырёхзначного числа равно . Найдите это число, если оно равно пятой степени одной из своих цифр.

Показать разбор и ответ

Это задание составили эксперты GetAClass специально для Яндекса

Это задание решали 255 раз. С ним справились 68% пользователей.

129. Задание#T1552

Шестизначное число записывается при помощи одной цифры и делится на . Найдите это число.

Показать разбор и ответ

Это задание составили эксперты GetAClass специально для Яндекса

Это задание решали 338 раз. С ним справились 75% пользователей.

130. Задание#T1551

Трёхзначное число при делении на , или даёт один и тот же остаток, равный . Найдите это число, если все цифры в нём разные.

Показать разбор и ответ

Пусть – искомое число.Тогда

делится и на , и на , и на . , и – взаимно простые числа. Значит,

делится на

– уже четырёхзначное.

Значит, искомое число равно либо

, либо

. Но по условию все цифры различны. Значит, искомое число равно

Ответ: 387

Это задание составили эксперты GetAClass специально для Яндекса

Это задание решали 386 раз. С ним справились 41% пользователей.

131. Задание#T1352

Найдите трёхзначное число, сумма цифр которого равна , а сумма квадратов цифр делится на , но не делится на . В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Показать разбор и ответ

Представим число в виде суммы трех слагаемых разными способами и найдем суммы квадратов цифр:

Сумма цифр числа	Сумма квадратов цифр числа	Воспользуемся признаками делимости на	Вывод




			Делится на и на
			Делится на

Итак, можно сделать вывод, что число, образованное цифрами

удовлетворяет условию.

Ответ: 578 или 587 или 758 или 785 или 857 или 875

Это задание взято из демовариантов ФИПИ 2018-2020

Это задание решали 12 тыс. раз. С ним справились 30% пользователей.

132. Задание#T331

Цифры четырёхзначного числа, кратного , записали в обратном порядке и получили второе четырёхзначное число. Затем из первого числа вычли второе и получили

. Приведите ровно один пример такого числа.

Показать разбор и ответ

Число кратно , значит, его последняя цифра равна или . Последний вариант невозможен, т.к. тогда число, записанное в обратном порядке, должно начинаться с нуля. Поэтому последняя цифра данного числа - .

Запишем данное число в виде

, где – тысячи, – сотни,

– десятки и – единицы. Тогда число, записанное в обратном порядке, представим в виде

, где – тысячи, – сотни, – десятки и – единицы.

Запишем вычитание столбиком.

Сразу можно заметить, что

. Потому что, если

, значит, была занята единица из разряда десятков, чтобы получилось

. Из последнего равенства получаем, что

. Составим равенства, содержащие цифры и . При этом будем помнить, что из разряда десятков первого числа была занята единица в разряд единиц. Кроме того, стоит учесть, что разряд сотен не занимал единицу из разряда тысяч, так как соблюдается равенство

Получаем систему из уравнений:

Сложив уравнения, получим

, что не может быть.

Значит, разряд десятков в первом числе занимал единицу из разряда сотен, чтобы выполнить вычитание.

Тогда получаем другую систему:

Следовательно, цифра больше цифры

на . Это могут быть варианты:

, , тогда число равно ,
, , тогда число равно ,
, , тогда число равно ,
, , тогда число равно .

Любое из этих чисел подойдет в качестве ответа.

Ответ: 9605 или 9715 или 9825 или 9935

Это задание подготовила команда Яндекс.Репетитора

Это задание решали 4 тыс. раз. С ним справились 27% пользователей.

133. Задание#T311

Вычеркните в числе

три цифры так, чтобы получившееся число делилось на . В ответе укажите ровно одно получившееся число.

Показать разбор и ответ

2 аналогичных задания

Чтобы число делилось на , оно должно делиться на и на . Значит, последняя цифра числа должна быть четной и сумма цифр числа должна делиться на . Поэтому нужно вычеркнуть либо последнюю цифру , тогда останется вычеркнуть еще две цифры, либо две цифры – и .

Рассмотрим вариант: Найдем сумму оставшихся цифр:

. Следовательно, нужно вычеркнуть две цифры, которые в сумме дают или .

Например, можно вычеркнуть и . Получим число

. Сумма цифр равна . Значит, получившееся число делится на .

Если вычеркнуть и , то сумма оставшихся цифр равна . Получим число

Рассмотрим вариант. Вычеркнем в конце числа и . Тогда сумма цифр оставшегося числа равна . Придется убрать , чтобы оставшаяся сумма цифр делилась на . Получим число

Ответ: 84762 или 85176 или 54162

Это задание подготовила команда Яндекс.Репетитора

Это задание решали 10 тыс. раз. С ним справились 23% пользователей.

134. Задание#T19

В двузначном числе количество десятков в раза меньше количества единиц, а сумма цифр этого числа равна наименьшему двузначному числу. Что это за число?

Показать разбор и ответ

Данная задача относится к категории задач на состав числа. Обозначим количество десятков , а количество единиц . Тогда имеем:

(т.к. количество десятков в раза меньше количества единиц) и

(т.к. сумма цифр этого числа равна наименьшему двузначному числу, которое равно ).

Решим систему.

Учитывая, что — это количество единиц, а — количество десятков, получаем, что заданное число — .

Ответ: 28

Это задание подготовила команда Яндекс.Репетитора

Это задание решали 16 тыс. раз. С ним справились 28% пользователей.

0 баллов сегодня

дней без пропуска

пт

сб

вс

пн

вт

ср

чт