Задание 14. Стереометрическая задача: все задания

Ответом к заданию по математике может быть целое число, конечная десятичная дробь (записывайте её через запятую, вот так: 2,5) или последовательность цифр (пишите без пробелов: 97531).

Версия для печати

16. Задание#T7518

Через середину бокового ребра правильной треугольной пирамиды проведена плоскость , перпендикулярная этому ребру. Известно, что она пересекает остальные боковые рёбра и разбивает пирамиду на два многогранника, объёмы которых относятся как к .

Докажите, что плоский угол при вершине пирамиды равен
Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью , если боковое ребро пирамиды равно .

Показать разбор

Решение.

А) Пусть — вершина,

— основание пирамиды, — середина ребра

Пусть секущая плоскость пересекает рёбра

в точках и соответственно.

Прямоугольные треугольники

равны по катету и острому углу; обозначим их равные гипотенузы

Объём тетраэдра

составляет

объёма пирамиды, что по условию равно

объёма пирамиды.

Отсюда

, и косинус плоского угла

при вершине равен

, поэтому

Б) Поскольку все плоские углы при вершине пирамиды равны

, получаем, что

. Из треугольника

по теореме косинусов

Высота

равнобедренного треугольника

равна

Искомая площадь сечения равна

Ответ:

Это задание составили эксперты «СтатГрада» для Яндекса

Это задание решали 13 тыс. раз. С ним справились 4% пользователей.

17. Задание#T7499

В правильной треугольной призме

все рёбра равны . Через точки

и середину ребра

проведена плоскость.

Докажите, что сечение призмы указанной плоскостью является прямоугольным треугольником.
Найдите тангенс угла между плоскостью сечения и плоскостью .

Показать разбор

А. Найдём стороны треугольника

Заметим, что

Следовательно, по теореме, обратной теореме Пифагора, треугольник

является прямоугольным.

Б. Так как прямая

перпендикулярна прямым

, угол

— искомый. Найдём тангенс угла

Ответ: Б.

Это задание составили эксперты «СтатГрада» для Яндекса

Это задание решали 11 тыс. раз. С ним справились 9% пользователей.

18. Задание#T7480

В правильной треугольной призме

все рёбра равны . Через точки

и среднюю точку ребра

проведена плоскость.

Докажите, что сечение призмы указанной плоскостью является прямоугольным треугольником.
Найдите угол между плоскостью сечения и плоскостью .

Показать разбор

А. Найдём стороны треугольника

Заметим, что

Следовательно, по теореме, обратной теореме Пифагора, треугольник

является прямоугольным.

Б. Так как прямая

перпендикулярна прямым

, угол

— искомый. Найдём тангенс угла

Ответ: Б.

Это задание составили эксперты «СтатГрада» для Яндекса

Это задание решали 9 тыс. раз. С ним справились 10% пользователей.

19. Задание#T4429

Дан прямой круговой цилиндр высотой и радиусом . В одном из оснований проведена хорда

, равная радиусу основания, а в другом основании проведён диаметр

, перпендикулярный прямой

. Построено сечение цилиндра плоскостью

, перпендикулярной прямой

, причём точка и центр основания цилиндра, содержащего отрезок

, лежат по одну сторону от плоскости сечения.

Докажите, что диагонали четырёхугольника равны.
Найдите объём пирамиды .

Показать разбор

А. Плоскость сечения

перпендикулярна прямой

, поэтому отрезки

являются образующими цилиндра. Следовательно, отрезки

параллельны и равны, значит,

— параллелограмм. Так как прямые

перпендикулярны основаниям цилиндра и, в частности, прямой

, параллелограмм

является прямоугольником. Отрезки

равны как диагонали прямоугольника, что и требовалось доказать.

Б. Площадь прямоугольника

равна

. Пусть — точка пересечения отрезков

, — центр основания цилиндра, содержащего отрезок

. Отрезок

равен

. Высота

пирамиды

равна

. Следовательно, объём пирамиды

равен

Ответ: Б.

Это задание составили эксперты «СтатГрада» для Яндекса

Это задание решали 9 тыс. раз. С ним справились 10% пользователей.

20. Задание#T4250

Дан прямой круговой цилиндр высотой и радиусом . В одном из оснований проведена хорда

, равная радиусу основания, а в другом основании проведён диаметр

, перпендикулярный прямой

. Построено сечение цилиндра плоскостью

, перпендикулярной прямой

, причём точка и центр основания цилиндра, содержащего отрезок

, лежат по одну сторону от плоскости сечения.

Докажите, что диагонали четырёхугольника равны.
Найдите объём пирамиды .

Показать разбор

А. Плоскость сечения

перпендикулярна прямой

, поэтому отрезки

являются образующими цилиндра. Следовательно, отрезки

параллельны и равны, значит,

— параллелограмм. Так как прямые

перпендикулярны основаниям цилиндра и, в частности, прямой

, параллелограмм

является прямоугольником. Отрезки

равны как диагонали прямоугольника, что и требовалось доказать.

Б. Площадь прямоугольника

равна

. Пусть — точка пересечения отрезков

, — центр основания цилиндра, содержащего отрезок

. Отрезок

равен

. Высота

пирамиды

равна

. Следовательно, объем пирамиды

равен

Ответ: Б.

Это задание составили эксперты «СтатГрада» для Яндекса

Это задание решали 12 тыс. раз. С ним справились 10% пользователей.

21. Задание#T4231

В основании правильной четырёхугольной пирамиды

лежит квадрат

. Противоположные боковые грани пирамиды попарно перпендикулярны. Через середины рёбер

проведена плоскость , параллельная ребру

Докажите, что плоскость параллельна ребру .
Найдите угол между плоскостью и прямой .

Показать разбор

А. Пусть точка — середина ребра

, а точка — середина ребра

. Плоскость пересекает грань

по отрезку

(точка лежит на ребре

), параллельному ребру

. Ребро

параллельно ребру

, а ребро

параллельно отрезку

. Следовательно, плоскость параллельна плоскости грани

. Поэтому прямая

параллельна плоскости .

Б. Пусть длина стороны основания равна . Вместо плоскости рассмотрим параллельную ей плоскость

. Проведём к ней перпендикуляр

из центра основания — точки . Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью

Это сечение — прямоугольный равнобедренный треугольник

, поскольку по условию грани

перпендикулярны. Отрезок

параллелен катету

этого треугольника и равен его половине:

Искомый угол равен углу

. В прямоугольном треугольнике

имеем:

;

Ответ: Б.

Это задание составили эксперты «СтатГрада» для Яндекса

Это задание решали 8 тыс. раз. С ним справились 9% пользователей.

22. Задание#T4212

В основании правильной четырёхугольной пирамиды

лежит квадрат

. Противоположные боковые грани пирамиды попарно перпендикулярны. Через середины рёбер

проведена плоскость , параллельная ребру

Докажите, что плоскость параллельна ребру .
Найдите угол между плоскостью и прямой .

Показать разбор

А. Пусть точка — середина ребра

, а точка — середина ребра

. Плоскость пересекает плоскость

по отрезку

(точка лежит на ребре

), параллельному ребру

. Ребро

параллельно ребру

, а ребро

параллельно отрезку

. Следовательно, плоскость параллельна плоскости грани

. Поэтому прямая

параллельна плоскости .

Б. Пусть длина стороны основания равна . Вместо плоскости рассмотрим параллельную ей плоскость

. Проведём к ней перпендикуляр

из центра основания — точки . Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью

Это сечение — прямоугольный равнобедренный треугольник

, поскольку по условию грани

перпендикулярны. Отрезок

параллелен катету

этого треугольника и равен его половине:

Искомый угол равен углу

. В прямоугольном треугольнике

имеем:

;

Ответ: Б.

Это задание составили эксперты «СтатГрада» для Яндекса

Это задание решали 10 тыс. раз. С ним справились 10% пользователей.

23. Задание#T3603

Сечение прямоугольного параллелепипеда

плоскостью , содержащей прямую

и параллельной прямой

, является ромб.

Докажите, что грань - квадрат.
Найдите угол между плоскостями и , если .

Это задание взято из досрочного варианта ФИПИ для ЕГЭ-2017

24. Задание#T3551

В основании правильной четырёхугольной пирамиды

лежит квадрат

со стороной . Противоположные боковые рёбра пирамиды попарно перпендикулярны. Через середины рёбер

проведена плоскость , параллельная ребру

Докажите, что сечение плоскостью пирамиды является параллелограммом.
Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью .

Показать разбор

А. Пусть точка — середина ребра

, а точка — середина ребра

. Плоскость пересекает плоскость

по отрезку

, параллельному ребру

. Следовательно, плоскость пересекает плоскость

по прямой, параллельной ребру

. На этой прямой лежит средняя линия треугольника

, поэтому плоскость проходит через точку — середину отрезка

. Таким образом, сечение — четырёхугольник

, в котором стороны

параллельны отрезку

и равны его половине. Значит,

— параллелограмм.

Б. Отметим точку — середину отрезка

и рассмотрим плоскость

. Прямая

перпендикулярна прямым

, следовательно, она перпендикулярна плоскости

, поэтому она перпендикулярна отрезку

. Таким образом, отрезок

служит высотой параллелограмма

Сечение пирамиды

плоскостью

— равнобедренный треугольник

. Отрезок

является медианой прямоугольного треугольника

, проведённой к его гипотенузе, поэтому

По условию треугольник

прямоугольный и равнобедренный, поэтому

и то же верно для других боковых рёбер. Следовательно, все боковые грани пирамиды — равносторонние треугольники. Тогда

Площадь параллелограмма

равна

Ответ:

Содержание критерия	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта А, и обоснованно получен верный ответ в пункте Б
Верно доказан пункт А. ИЛИ Верно решён пункт Б при отсутствии обоснований в пункте А
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше
Максимальный балл

Это задание составили эксперты «СтатГрада» для Яндекса

25. Задание#T3524

В основании правильной четырёхугольной пирамиды

лежит квадрат

со стороной . Противоположные боковые рёбра пирамиды попарно перпендикулярны. Через середины рёбер

проведена плоскость , параллельная ребру

Докажите, что сечение плоскостью пирамиды является параллелограммом.
Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью .

Показать разбор

А. Пусть точка — середина ребра

, а точка — середина ребра

. Плоскость пересекает плоскость

по отрезку

, параллельному ребру

. Следовательно, плоскость пересекает плоскость

по прямой, параллельной ребру

. На этой прямой лежит средняя линия треугольника

, поэтому плоскость проходит через точку — середину отрезка

. Таким образом, сечение — четырёхугольник

, в котором стороны

параллельны отрезку

и равны его половине. Значит,

— параллелограмм.

Б. Отметим точку — середину отрезка

и рассмотрим плоскость

. Прямая

перпендикулярна прямым

, следовательно, она перпендикулярна плоскости

, поэтому она перпендикулярна отрезку

. Таким образом, отрезок

служит высотой параллелограмма

Сечение пирамиды

плоскостью

— равнобедренный треугольник

. Отрезок

является медианой прямоугольного треугольника

, проведённой к его гипотенузе, поэтому

По условию треугольник

прямоугольный и равнобедренный, поэтому

Площадь параллелограмма

равна

Ответ:

Содержание критерия	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта А, и обоснованно получен верный ответ в пункте Б
Верно доказан пункт А. ИЛИ Верно решён пункт Б при отсутствии обоснований в пункте А
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше
Максимальный балл

Это задание составили эксперты «СтатГрада» для Яндекса

26. Задание#T3505

В основании правильной четырёхугольной пирамиды

лежит квадрат

со стороной . Противоположные боковые рёбра пирамиды попарно перпендикулярны. Через середины рёбер

проведена плоскость , параллельная ребру

Докажите, что сечение плоскостью пирамиды является параллелограммом.
Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью .

Показать разбор

А. Пусть точка — середина ребра

, а точка — середина ребра

. Плоскость пересекает плоскость

по отрезку

, параллельному ребру

. Следовательно, плоскость пересекает плоскость

по прямой, параллельной ребру

. На этой прямой лежит средняя линия треугольника

, поэтому плоскость проходит через точку — середину отрезка

. Таким образом, сечение — четырёхугольник

, в котором стороны

параллельны отрезку

и равны его половине. Значит,

— параллелограмм.

Б. Отметим точку — середину отрезка

и рассмотрим плоскость

. Прямая

перпендикулярна прямым

, следовательно, она перпендикулярна плоскости

, поэтому она перпендикулярна отрезку

. Таким образом, отрезок

служит высотой параллелограмма

Сечение пирамиды

плоскостью

— равнобедренный треугольник

. Отрезок

является медианой прямоугольного треугольника

, проведённой к его гипотенузе, поэтому

По условию треугольник

прямоугольный и равнобедренный, поэтому

Площадь параллелограмма

равна

Ответ:

Содержание критерия	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта А, и обоснованно получен верный ответ в пункте Б
Верно доказан пункт А. ИЛИ Верно решён пункт Б при отсутствии обоснований в пункте А
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше
Максимальный балл

Это задание составили эксперты «СтатГрада» для Яндекса

27. Задание#T3373

В основании правильной четырёхугольной пирамиды

лежит квадрат

со стороной . Противоположные боковые рёбра пирамиды попарно перпендикулярны. Через середины рёбер

проведена плоскость , параллельная ребру

Докажите, что сечение плоскостью пирамиды является параллелограммом.
Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью .

Показать разбор

А. Пусть точка — середина ребра

, а точка — середина ребра

. Плоскость пересекает плоскость

по отрезку

, параллельному ребру

. Следовательно, плоскость пересекает плоскость

по прямой, параллельной ребру

. На этой прямой лежит средняя линия треугольника

, поэтому плоскость проходит через точку — середину отрезка

. Таким образом, сечение — четырёхугольник

, в котором стороны

параллельны отрезку

и равны его половине. Значит,

— параллелограмм.

Б. Отметим точку — середину отрезка

и рассмотрим плоскость

. Прямая

перпендикулярна прямым

, следовательно, она перпендикулярна плоскости

, поэтому она перпендикулярна отрезку

. Таким образом, отрезок

служит высотой параллелограмма

Сечение пирамиды

плоскостью

— равнобедренный треугольник

. Отрезок

является медианой прямоугольного треугольника

, проведённой к его гипотенузе, поэтому

По условию треугольник

прямоугольный и равнобедренный, поэтому

Площадь параллелограмма

равна

Ответ:

Содержание критерия	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта А, и обоснованно получен верный ответ в пункте Б
Верно доказан пункт А. ИЛИ Верно решён пункт Б при отсутствии обоснований в пункте А
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше
Максимальный балл

Это задание составили эксперты «СтатГрада» для Яндекса

28. Задание#T1504

Все рёбра правильной треугольной призмы

имеют длину . Точки и — середины рёбер

соответственно.

Докажите, что прямые и перпендикулярны.
Найдите угол между плоскостями и .

Показать разбор

Решение.

А. Пусть точка — середина

. Тогда

Вместе с тем

а тогда по теореме, обратной теореме Пифагора, треугольник

является прямоугольным с прямым углом .

Б. Проведём перпендикуляр

к прямой

. Тогда

. Следовательно,

. Поэтому

— проекция

на плоскость

Прямая

перпендикулярна

, тогда по теореме о трёх перпендикулярах

. Следовательно, угол

— линейный угол искомого угла.

Длина

равна половине высоты треугольника

, то есть

Поэтому

Следовательно,

Ответ.

Б.

Содержание критерия	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в пунктах А и Б.
Выполнен только один из пунктов – А или Б.
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше.
Максимальный балл

Это задание взято из демовариантов ФИПИ 2018-2020

0 баллов сегодня

дней без пропуска

сб

вс

пн

вт

ср

чт

пт