Задание 26. : все задания

Версия для печати

1. Задание#T28006

В параллелограмме

проведена диагональ

Точка является центром окружности, вписанной в треугольник

Расстояния от точки до точки и прямых

соответственно равны и

Найдите площадь параллелограмма

Показать разбор

Пусть окружность, вписанная в треугольник

касается сторон

в точках

и соответственно (см. рисунок), — проекция точки на прямую

(точка может лежать либо на стороне

либо на её продолжении).

Тогда

точки и лежат на одной прямой,

— высота параллелограмма

Из прямоугольного треугольника

находим, что

Пусть и — полупериметр и площадь треугольника

соответственно,

— радиус окружности, вписанной в него. Обозначим

Тогда

Из уравнения

находим, что

Следовательно,

Ответ:

Это задание составили эксперты «СтатГрада» для Яндекса

Это задание решали 25 тыс. раз. С ним справились 11% пользователей.

2. Задание#T27816

В параллелограмме

проведена диагональ

Точка является центром окружности, вписанной в треугольник

Расстояния от точки до точки и прямых

соответственно равны

Найдите площадь параллелограмма

Показать разбор

Пусть окружность, вписанная в треугольник

касается сторон

в точках

и соответственно (см. рисунок), — проекция точки на прямую

(точка может лежать либо на стороне

либо на её продолжении).

Тогда

точки

и лежат на одной прямой,

— высота параллелограмма

Из прямоугольного треугольника

находим, что

Пусть и — полупериметр и площадь треугольника

соответственно,

— радиус окружности, вписанной в него. Обозначим

Тогда

Из уравнения

находим, что

Следовательно,

Ответ:

Это задание составили эксперты «СтатГрада» для Яндекса

Это задание решали 14 тыс. раз. С ним справились 8% пользователей.

3. Задание#T27790

В параллелограмме

проведена диагональ

Точка является центром окружности, вписанной в треугольник

Расстояния от точки до точки и прямых

соответственно равны

Найдите площадь параллелограмма

Показать разбор

Пусть окружность, вписанная в треугольник

касается сторон

в точках

и соответственно (см. рисунок), — проекция точки на прямую

(точка может лежать либо на стороне

либо на её продолжении).

Тогда

точки и лежат на одной прямой,

— высота параллелограмма

Из прямоугольного треугольника

находим, что

Пусть и — полупериметр и площадь треугольника

соответственно,

— радиус окружности, вписанной в него. Обозначим

Тогда

Из уравнения

находим, что

Следовательно,

Ответ:

Это задание составили эксперты «СтатГрада» для Яндекса

Это задание решали 9 тыс. раз. С ним справились 7% пользователей.

4. Задание#T27764

В параллелограмме

проведена диагональ

Точка является центром окружности, вписанной в треугольник

Расстояния от точки до точки и прямых

соответственно равны

Найдите площадь параллелограмма

Показать разбор

Пусть окружность, вписанная в треугольник

касается сторон

в точках

и соответственно (см. рисунок), — проекция точки на прямую

(точка может лежать либо на стороне

либо на её продолжении).

Тогда

точки

и лежат на одной прямой,

— высота параллелограмма

Из прямоугольного треугольника

находим, что

Пусть и — полупериметр и площадь треугольника

соответственно,

— радиус окружности, вписанной в него. Обозначим

Тогда

Из уравнения

находим, что

Следовательно,

Ответ:

Это задание составили эксперты «СтатГрада» для Яндекса

Это задание решали 9 тыс. раз. С ним справились 6% пользователей.

5. Задание#T26992

Углы при одном из оснований трапеции равны

а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны и

Найдите основания трапеции.

Показать разбор

Пусть

— данная трапеция,

— большее основание, и — середины сторон

соответственно. Сумма углов при одном из оснований равна

так что это большее основание

Продлим боковые стороны трапеции до пересечения в точке (см. рисунок). Легко видеть, что

Пусть — середина основания

Тогда

— медиана прямоугольного треугольника

Поскольку медиана

делит пополам любой отрезок с концами на сторонах

треугольника

параллельный стороне

она пересекает основание

также в его середине

Значит,

Таким образом,

Средняя линия

трапеции при этом равна

Получаем

Ответ:

Это задание составили эксперты «СтатГрада» для Яндекса

Это задание решали 620 раз. С ним справились 4% пользователей.

6. Задание#T26821

Углы при одном из оснований трапеции равны

а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны и

Найдите основания трапеции.

Показать разбор

Пусть

— данная трапеция,

— большее основание, и — середины сторон

соответственно. Сумма углов при одном из оснований равна

так что это большее основание

Продлим боковые стороны трапеции до пересечения в точке (см. рисунок).

Легко увидеть, что

Пусть — середина основания

Тогда

— медиана прямоугольного треугольника

Поскольку медиана

делит пополам любой отрезок с концами на сторонах

треугольника

параллельный стороне

она пересекает основание

также в его середине

Значит,

Таким образом,

Средняя линия

трапеции при этом равна

Получаем

Ответ:

Это задание составили эксперты «СтатГрада» для Яндекса

Это задание решали 19 тыс. раз. С ним справились 6% пользователей.

7. Задание#T26795

Углы при одном из оснований трапеции равны

а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны и

Найдите основания трапеции.

Показать разбор

Пусть

— данная трапеция,

— большее основание, и — середины сторон

соответственно. Сумма углов при одном из оснований равна

так что это большее основание

Продлим боковые стороны трапеции до пересечения в точке (см. рисунок). Легко видеть, что

Пусть — середина основания

Тогда

— медиана прямоугольного треугольника

Поскольку медиана

делит пополам любой отрезок с концами на сторонах

треугольника

параллельный стороне

она пересекает основание

также в его середине

Значит,

Таким образом,

Средняя линия

трапеции при этом равна

Получаем

Ответ:

Это задание составили эксперты «СтатГрада» для Яндекса

Это задание решали 13 тыс. раз. С ним справились 6% пользователей.

8. Задание#T26724

Углы при одном из оснований трапеции равны

а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны и

Найдите основания трапеции.

Показать разбор

Пусть

— данная трапеция,

— большее основание, и — середины сторон

соответственно. Сумма углов при одном из оснований равна

так что это большее основание

Продлим боковые стороны трапеции до пересечения в точке (см. рисунок).

Легко видеть, что

Пусть — середина основания

Тогда

— медиана прямоугольного треугольника

Поскольку медиана

делит пополам любой отрезок с концами на сторонах

треугольника

параллельный стороне

она пересекает основание

также в его середине

Значит,

Таким образом,

Средняя линия

трапеции при этом равна

Получаем

Ответ:

Это задание составили эксперты «СтатГрада» для Яндекса

Это задание решали 16 тыс. раз. С ним справились 7% пользователей.

9. Задание#T8425

Основание

равнобедренного треугольника

равно Окружность радиусом с центром вне этого треугольника касается продолжений боковых сторон треугольника и касается основания

Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник

Показать разбор

Пусть — центр данной окружности, а — центр окружности, вписанной в треугольник

Точка касания окружностей делит

пополам.

Лучи

— биссектрисы смежных углов, значит, угол

прямой.

Из прямоугольного треугольника

получаем:

Следовательно,

Ответ:

Это задание взято из демовариантов ФИПИ 2018-2020

Это задание решали 62 тыс. раз. С ним справились 6% пользователей.

10. Задание#T7295

В треугольнике

биссектриса угла делит высоту, проведённую из вершины , в отношении

, считая от точки .

Найдите радиус окружности, описанной около треугольника

, если

Показать разбор

Пусть

— высота треугольника, которую биссектриса пересекает в точке (см. рисунок).

По теореме о биссектрисе в треугольнике

имеем

. Следовательно,

. Тогда

По теореме синусов для треугольника

искомый радиус равен

Ответ: .

Это задание составили эксперты «СтатГрада» для Яндекса

Это задание решали 13 тыс. раз. С ним справились 6% пользователей.

11. Задание#T7289

В треугольнике

биссектриса угла делит высоту, проведённую из вершины , в отношении

, считая от точки .

Найдите радиус окружности, описанной около треугольника

, если

Показать разбор

Пусть

— высота треугольника, которую биссектриса пересекает в точке (см. рисунок).

По теореме о биссектрисе в треугольнике

имеем

Следовательно,

. Тогда

По теореме синусов для треугольника

искомый радиус равен

Ответ: .

Это задание составили эксперты «СтатГрада» для Яндекса

Это задание решали 10 тыс. раз. С ним справились 5% пользователей.

12. Задание#T7283

В треугольнике

биссектриса угла делит высоту, проведённую из вершины , в отношении

, считая от точки .

Найдите радиус окружности, описанной около треугольника

, если

Показать разбор

Пусть

— высота треугольника, которую биссектриса пересекает в точке (см. рисунок).

По теореме о биссектрисе в треугольнике

имеем

. Следовательно,

. Тогда

По теореме синусов для треугольника

искомый радиус равен

Ответ: .

Это задание составили эксперты «СтатГрада» для Яндекса

Это задание решали 10 тыс. раз. С ним справились 7% пользователей.

13. Задание#T7277

В треугольнике

биссектриса угла делит высоту, проведённую из вершины , в отношении

, считая от точки .

Найдите радиус окружности, описанной около треугольника

, если

Показать разбор

Пусть

— высота треугольника, которую биссектриса пересекает в точке (см. рисунок).

По теореме о биссектрисе в треугольнике

имеем

Следовательно,

. Тогда

По теореме синусов для треугольника

искомый радиус равен

Ответ: .

Это задание составили эксперты «СтатГрада» для Яндекса

Это задание решали 7 тыс. раз. С ним справились 10% пользователей.

14. Задание#T4067

Четырёхугольник

со сторонами

вписан в окружность. Диагонали

пересекаются в точке , причём

Найдите радиус окружности, описанной около этого четырёхугольника.

Показать разбор

1 аналогичное задание

Через точку проведём хорду

, параллельную диагонали

(см. рисунок). Тогда

Поскольку четырёхугольник

вписанный, получаем

По теореме косинусов

По теореме синусов радиус окружности равен

Ответ:

Содержание критерия	Баллы
Ход решения задачи верный, получен верный ответ
Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена ошибка вычислительного характера
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше
Максимальный балл

Это задание составили эксперты «СтатГрада» для Яндекса

15. Задание#T4015

Окружности радиусов и касаются внешним образом. Точки и лежат на первой окружности, точки и — на второй. При этом

— общие касательные окружностей.

Найдите расстояние между прямыми

Показать разбор

1 аналогичное задание

Пусть и — центры первой и второй окружностей соответственно (см. рисунок).

Линия центров касающихся окружностей проходит через их точку касания, поэтому расстояние между центрами окружностей равно сумме их радиусов, то есть

Опустим перпендикуляр

из центра меньшей окружности на радиус

второй окружности. Тогда

Из прямоугольного треугольника

находим, что

, а так как четырёхугольник

— прямоугольник,

Опустим перпендикуляр

из точки на прямую

, тогда

Прямоугольные треугольники

подобны по острому углу, поэтому

. Следовательно,

Ответ:

Содержание критерия	Баллы
Ход решения задачи верный, получен верный ответ
Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена ошибка вычислительного характера
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше
Максимальный балл

Это задание составили эксперты «СтатГрада» для Яндекса

0 баллов сегодня

дней без пропуска

пт

сб

вс

пн

вт

ср

чт