Задание 25. Уметь выполнять действия с геометрическими фигурами, координатами и векторами: все задания

Версия для печати

1. Задание#T29485

Через точку пересечения диагоналей параллелограмма

проведена прямая, пересекающая стороны

и

в точках и соответственно.

Докажите, что отрезки

и

равны.

Показать разбор

Это задание составили эксперты МЦНМО

Это задание решали 419 раз. С ним справились 83% пользователей.

2. Задание#T29484

Биссектрисы углов и параллелограмма

пересекаются в точке лежащей на стороне

Докажите, что — середина

Показать разбор

Доказательство.

Пусть прямая

параллельна стороне

(точка лежит на стороне

), тогда в параллелограммах

и

диагонали делят соответствующие углы пополам, значит, эти параллелограммы — ромбы.

Получаем, что

т. е. точка — середина

Это задание составили эксперты МЦНМО

Это задание решали 416 раз. С ним справились 79% пользователей.

3. Задание#T29483

Биссектрисы углов и трапеции

пересекаются в точке лежащей на стороне

Докажите, что точка равноудалена от прямых

и

Показать разбор

Доказательство.

Точка принадлежит биссектрисе угла

значит, эта точка равноудалена от прямых

и

Точка принадлежит биссектрисе угла

значит, эта точка равноудалена от прямых

и

Получаем, что точка равноудалена от всех трёх прямых:

и

Это задание составили эксперты МЦНМО

Это задание решали 415 раз. С ним справились 76% пользователей.

4. Задание#T29482

На средней линии трапеции

с основаниями

и

выбрали произвольную точку

Докажите, что сумма площадей треугольников

и

равна половине площади трапеции.

Показать разбор

Это задание составили эксперты МЦНМО

Это задание решали 436 раз. С ним справились 68% пользователей.

5. Задание#T29481

В трапеции

с основаниями

и

диагонали пересекаются в точке

Докажите, что площади треугольников

и

равны.

Показать разбор

Это задание составили эксперты МЦНМО

Это задание решали 415 раз. С ним справились 76% пользователей.

6. Задание#T29480

Сторона

параллелограмма

вдвое больше стороны

Точка — середина стороны

Докажите, что

— биссектриса угла

Показать разбор

Это задание составили эксперты МЦНМО

Это задание решали 415 раз. С ним справились 75% пользователей.

7. Задание#T29479

Точка — середина боковой стороны

трапеции

Докажите, что площадь треугольника

равна половине площади трапеции.

Показать разбор

Доказательство.

Пусть прямые

и

пересекаются в точке

В треугольниках

и

:

так как точка — середина стороны
(как вертикальные),
(как накрест лежащие при параллельных прямых и и секущей ).

Значит,

откуда,

т. е.

Так как

получаем:

— медиана

Площадь

равна

а значит,

Это задание составили эксперты МЦНМО

Это задание решали 414 раз. С ним справились 66% пользователей.

8. Задание#T29478

Основания

и

трапеции

равны соответственно и

Докажите, что треугольники

и

подобны.

Показать разбор

Это задание составили эксперты МЦНМО

Это задание решали 94 раза. С ним справились 78% пользователей.

9. Задание#T29477

В выпуклом четырёхугольнике

углы

и

равны.

Докажите, что углы

и

также равны.

Показать разбор

Доказательство.

Поскольку четырёхугольник

выпуклый и

окружность, описанная около треугольника

проходит через точку (иначе угол

был бы меньше или больше угла

).

Значит, вписанные углы

и

равны, так как опираются на одну дугу

Это задание составили эксперты МЦНМО

Это задание решали 95 раз. С ним справились 72% пользователей.

10. Задание#T29476

Известно, что около четырёхугольника

можно описать окружность и что продолжения сторон

и

четырёхугольника пересекаются в точке

Докажите, что треугольники

и

подобны.

Показать разбор

Доказательство.

Пусть прямые

и

пересекаются за точками и В противном случае доказательство аналогично.

У треугольников

и

:

угол общий,
(смежные),
(по свойству вписанного четырёхугольника).

Получаем, что

а значит, треугольники

и

подобны по двум углам.

Это задание составили эксперты МЦНМО

Это задание решали 94 раза. С ним справились 73% пользователей.

11. Задание#T29475

В остроугольном треугольнике

проведены высоты

и

Докажите, что углы

и

равны.

Показать разбор

Это задание составили эксперты МЦНМО

Это задание решали 94 раза. С ним справились 69% пользователей.

12. Задание#T29474

Окружности с центрами в точках и пересекаются в точках и причём точки и лежат по одну сторону от прямой

Докажите, что прямые

и

перпендикулярны.

Показать разбор

Доказательство.

Точка равноудалена от точек и поэтому эта точка лежит на серединном перпендикуляре к отрезку

Точка равноудалена от точек и поэтому эта точка также лежит на серединном перпендикуляре к отрезку

Значит, прямая

является серединным перпендикуляром к отрезку

т.е. прямые

и

перпендикулярны.

Это задание составили эксперты МЦНМО

Это задание решали 94 раза. С ним справились 59% пользователей.

13. Задание#T28005

В треугольнике

с тупым углом

проведены высоты

и

Докажите, что треугольники

и

подобны.

Показать разбор

Доказательство.

Поскольку угол

тупой, основания и высот лежат на продолжениях сторон

и

соответственно. Диагонали четырёхугольника

пересекаются, поэтому он выпуклый.

Поскольку

около четырёхугольника

можно описать окружность. Значит, углы

и

равны как вписанные углы, опирающиеся на дугу

Аналогично

Следовательно, треугольники

и

подобны по двум углам.

Это задание составили эксперты «СтатГрада» для Яндекса

Это задание решали 25 тыс. раз. С ним справились 15% пользователей.

14. Задание#T27815

В треугольнике

с тупым углом

проведены высоты

и

Докажите, что треугольники

и

подобны.

Показать разбор

Доказательство.

Поскольку угол

тупой, основания и высот лежат на продолжениях сторон

и

соответственно. Диагонали четырёхугольника

пересекаются, поэтому он выпуклый.

Поскольку

около четырёхугольника

можно описать окружность. Значит, углы

и

равны как вписанные углы, опирающиеся на дугу

Аналогично

Следовательно, треугольники

и

подобны по двум углам.

Это задание составили эксперты «СтатГрада» для Яндекса

Это задание решали 14 тыс. раз. С ним справились 11% пользователей.

15. Задание#T27789

В треугольнике

с тупым углом

проведены высоты

и

Докажите, что треугольники

и

подобны.

Показать разбор

Доказательство.

Поскольку угол

тупой, основания и высот лежат на продолжениях сторон

и

соответственно. Диагонали четырёхугольника

пересекаются, поэтому он выпуклый.

Поскольку

около четырёхугольника

можно описать окружность. Значит, углы

и

равны как вписанные углы, опирающиеся на дугу

Аналогично

Следовательно, треугольники

и

подобны по двум углам.

Это задание составили эксперты «СтатГрада» для Яндекса

Это задание решали 9 тыс. раз. С ним справились 10% пользователей.

0 баллов сегодня

дней без пропуска

0

вс

0

пн

0

вт

0

ср

0

чт

0

пт

0

сб