Задание 25. Уметь выполнять действия с геометрическими фигурами, координатами и векторами: все задания

Версия для печати

16. Задание#T27763

В треугольнике

с тупым углом

проведены высоты

Докажите, что треугольники

подобны.

Показать разбор

Доказательство.

Поскольку угол

тупой, основания и высот лежат на продолжениях сторон

соответственно. Диагонали четырёхугольника

пересекаются, поэтому он выпуклый.

Поскольку

около четырёхугольника

можно описать окружность. Значит, углы

равны как вписанные углы, опирающиеся на дугу

Аналогично

Следовательно, треугольники

подобны по двум углам.

Это задание составили эксперты «СтатГрада» для Яндекса

Это задание решали 9 тыс. раз. С ним справились 9% пользователей.

17. Задание#T26991

Внутри параллелограмма

выбрали произвольную точку

Докажите, что сумма площадей треугольников

равна половине площади параллелограмма.

Показать разбор

Доказательство.

Проведём через точку прямые

параллельные сторонам параллелограмма (см. рисунок). Эти прямые разбивают исходный параллелограмм на четыре меньших, а отрезки

являются диагоналями этих параллелограммов и разбивают каждый из них на равные треугольники.

Пусть площади треугольников

равны

соответственно. Тогда площадь параллелограмма

равна

а сумма площадей треугольников

равна

что вдвое меньше площади параллелограмма

Это задание составили эксперты «СтатГрада» для Яндекса

Это задание решали 610 раз. С ним справились 3% пользователей.

18. Задание#T26820

Внутри параллелограмма

выбрали произвольную точку

Докажите, что сумма площадей треугольников

равна половине площади параллелограмма.

Показать разбор

Доказательство.

Проведём через точку прямые

являются диагоналями этих параллелограммов и разбивают каждый из них на равные треугольники.

Пусть площади треугольников

равны

соответственно. Тогда площадь параллелограмма

равна

а сумма площадей треугольников

равна

что вдвое меньше площади параллелограмма

Это задание составили эксперты «СтатГрада» для Яндекса

Это задание решали 19 тыс. раз. С ним справились 7% пользователей.

19. Задание#T26794

Внутри параллелограмма

выбрали произвольную точку

Докажите, что сумма площадей треугольников

равна половине площади параллелограмма.

Показать разбор

Доказательство.

Проведём через точку прямые

параллельные сторонам параллелограмма (см. рисунок).

Эти прямые разбивают исходный параллелограмм на четыре меньших, а отрезки

являются диагоналями этих параллелограммов и разбивают каждый из них на равные треугольники.

Пусть площади треугольников

равны

соответственно. Тогда площадь параллелограмма

равна

а сумма площадей треугольников

равна

что вдвое меньше площади параллелограмма

Это задание составили эксперты «СтатГрада» для Яндекса

Это задание решали 13 тыс. раз. С ним справились 8% пользователей.

20. Задание#T26723

Внутри параллелограмма

выбрали произвольную точку

Докажите, что сумма площадей треугольников

равна половине площади параллелограмма.

Показать разбор

Доказательство.

Проведём через точку прямые

являются диагоналями этих параллелограммов и разбивают каждый из них на равные треугольники.

Пусть площади треугольников

равны

соответственно. Тогда площадь параллелограмма

равна

а сумма площадей треугольников

равна

что вдвое меньше площади параллелограмма

Это задание составили эксперты «СтатГрада» для Яндекса

Это задание решали 16 тыс. раз. С ним справились 8% пользователей.

21. Задание#T8424

В параллелограмме

точка — середина стороны

. Известно, что

Докажите, что данный параллелограмм — прямоугольник.

Показать разбор

Это задание взято из демовариантов ФИПИ 2018-2020

Это задание решали 62 тыс. раз. С ним справились 11% пользователей.

22. Задание#T7294

Окружности с центрами в точках и не имеют общих точек, и ни одна из них не лежит внутри другой. Внутренняя общая касательная к этим окружностям делит отрезок, соединяющий их центры, в отношении

Докажите, что диаметры этих окружностей относятся как

Показать разбор

Пусть и — точки касания окружностей с общей касательной, — точка пересечения прямых

(см. рисунок).

Тогда

как углы между касательной и радиусами, проведёнными в точки касания,

как вертикальные углы, поэтому прямоугольные треугольники

подобны.

Следовательно,

, значит, радиусы окружностей с центрами в точках и относятся как

. Таким образом, и диаметры этих окружностей относятся как

Это задание составили эксперты «СтатГрада» для Яндекса

Это задание решали 13 тыс. раз. С ним справились 6% пользователей.

23. Задание#T7288

Докажите, что диаметры этих окружностей относятся как

Показать разбор

Пусть и — точки касания окружностей с общей касательной, — точка пересечения прямых

(см. рисунок). Тогда

как углы между касательной и радиусами, проведёнными в точки касания,

как вертикальные углы, поэтому прямоугольные треугольники

подобны.

Следовательно,

, значит, радиусы окружностей с центрами в точках и относятся как

. Таким образом, и диаметры этих окружностей относятся как

Это задание составили эксперты «СтатГрада» для Яндекса

Это задание решали 10 тыс. раз. С ним справились 6% пользователей.

24. Задание#T7282

Докажите, что диаметры этих окружностей относятся как

Показать разбор

Пусть и — точки касания окружностей с общей касательной, — точка пересечения прямых и

(см. рисунок).

Тогда

как углы между касательной и радиусами, проведёнными в точки касания,

как вертикальные углы, поэтому прямоугольные треугольники

подобны.

Следовательно,

, значит, радиусы окружностей с центрами в точках и относятся как

. Таким образом, и диаметры этих окружностей относятся как

Это задание составили эксперты «СтатГрада» для Яндекса

Это задание решали 10 тыс. раз. С ним справились 8% пользователей.

25. Задание#T7276

Докажите, что диаметры этих окружностей относятся как

Показать разбор

Пусть и — точки касания окружностей с общей касательной, — точка пересечения прямых и

(см. рисунок). Тогда

как углы между касательной и радиусами, проведёнными в точки касания,

как вертикальные углы, поэтому прямоугольные треугольники

подобны.

Следовательно,

, значит, радиусы окружностей с центрами в точках и относятся как

. Таким образом, и диаметры этих окружностей относятся как

Это задание составили эксперты «СтатГрада» для Яндекса

Это задание решали 7 тыс. раз. С ним справились 11% пользователей.

26. Задание#T4066

В остроугольном треугольнике

проведены высоты

. Докажите, что углы

равны.

Показать разбор

1 аналогичное задание

Диагонали четырёхугольника

пересекаются, значит, он является выпуклым.

Поскольку

, около четырёхугольника

можно описать окружность.

Следовательно, углы

равны как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу

Содержание критерия	Баллы
Доказательство верное, все шаги обоснованы
Доказательство в целом верное, но содержит неточности
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше
Максимальный балл

Это задание составили эксперты «СтатГрада» для Яндекса

27. Задание#T4014

Внутри параллелограмма

выбрали произвольную точку . Докажите, что сумма площадей треугольников

равна половине площади параллелограмма.

Показать разбор

1 аналогичное задание

Проведём через точку прямые

, параллельные сторонам параллелограмма (см. рисунок).

Эти прямые разбивают исходный параллелограмм на четыре меньших, а отрезки

являются диагоналями этих параллелограммов и разбивают каждый из них на равные треугольники.

Пусть площади треугольников

равны , , , соответственно.

Тогда площадь параллелограмма

равна

а сумма площадей треугольников

равна

, что вдвое меньше площади параллелограмма

Содержание критерия	Баллы
Доказательство верное, все шаги обоснованы
Доказательство в целом верное, но содержит неточности
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше
Максимальный балл

Это задание составили эксперты «СтатГрада» для Яндекса

0 баллов сегодня

дней без пропуска

сб

вс

пн

вт

ср

чт

пт