Задание 19. Числа и их свойства: все задания

Ответом к заданию по математике может быть целое число, конечная десятичная дробь (записывайте её через запятую, вот так: 2,5) или последовательность цифр (пишите без пробелов: 97531).

Версия для печати

16. Задание#T4255

У Вовы есть набор из грузиков попарно различных натуральных масс в граммах и чашечные весы, которые находятся в равновесии, если на каждой из двух их чаш лежат грузики с одинаковыми суммарными массами. Известно, что, какие бы два из них ни положили на одну чашу весов, всегда можно положить на другую чашу один или несколько из оставшихся грузиков так, что весы уравновесятся.

Может ли у Вовы быть ровно грузиков, среди которых есть грузик массой г?
Может ли у Вовы быть ровно грузиков?
Известно, что среди грузиков Вовы есть грузик массой г.

Какую наименьшую массу может иметь самый тяжёлый грузик Вовы?

Показать разбор

А. Если у Вовы есть грузики массами г, г, г, г, г и г, то условия задачи выполнены. Действительно, пусть выбраны грузики массами и граммов,

. Если

, то уравновесить эти грузики можно двумя грузиками с массами

граммов. Если

, то уравновесить эти грузики можно двумя грузиками с массами

граммов. Если

, то эти грузики уравновешиваются грузиком массой г. Если

, то эти грузики уравновешиваются грузиками массой г, г и г. Наконец, если

, то эти грузики уравновешиваются грузиками массой г, г и г.

Б. Пусть у Вовы есть грузики массами (в граммах) , ,

, , , причём

и условия задачи выполнены. Грузики массами и можно уравновесить только тремя оставшимися грузиками. Значит,

. Аналогично грузики массами

и можно уравновесить только тремя оставшимися грузиками. Значит,

. Вычитая левые и правые части двух полученных равенств, получаем

. Отсюда

, и мы приходим к противоречию.

В. По доказанному в пункте Б у Вовы не может быть меньше грузиков. Предположим, что самые лёгкие шесть грузиков Вовы — это грузики массами (в граммах) , , ,

, , , причём

и условия задачи выполнены.

Допустим, что самый тяжёлый грузик весит г. Тогда у Вовы есть ровно шесть грузиков с массами , , , , , г. Но в этом случае остальными грузиками нельзя уравновесить грузики массами и г. Значит, самый тяжёлый грузик весит не меньше г.

Приведём пример подходящего набора: , , , , , , г. Докажем, что любую пару грузиков можно уравновесить набором оставшихся. Пусть выбраны грузики массами и граммов,

. Если

, то уравновесить эти грузики можно двумя грузиками с массами

граммов. Если

, то уравновесить эти грузики можно двумя грузиками с массами

граммов. Для оставшихся пар выполняются равенства

Ответ:

Да, например, г, г, г, г, г и г;
нет;
.

Это задание составили эксперты «СтатГрада» для Яндекса

Это задание решали 12 тыс. раз. С ним справились 9% пользователей.

17. Задание#T4236

Все члены возрастающих арифметических прогрессий

являются натуральными числами.

Приведите пример таких прогрессий, для которых .
Существуют ли такие прогрессии, для которых ?
Какое наибольшее значение может принимать произведение , если ?

Показать разбор

А. Подходящим примером являются прогрессии

Для этих прогрессий имеем

Б. Обозначим через

и разности арифметических прогрессий

соответственно. Тогда

Если

, то

. Получаем противоречие, ведь по условию

В. По условию

. В ходе решения пункта Б мы получили, что

Значит,

Покажем, что случай

возможен. Это равенство выполняется, например, для прогрессий

Для них

Ответ:

Например и
нет;
.

Это задание составили эксперты «СтатГрада» для Яндекса

Это задание решали 8 тыс. раз. С ним справились 9% пользователей.

18. Задание#T4217

Все члены возрастающих арифметических прогрессий

являются натуральными числами.

Приведите пример таких прогрессий, для которых .
Существуют ли такие прогрессии, для которых ?
Какое наибольшее значение может принимать произведение , если ?

Показать разбор

А. Подходящим примером являются прогрессии

Для этих прогрессий имеем

Б. Обозначим через

и разности арифметических прогрессий

соответственно. Тогда

Если

, то

. Получаем противоречие, ведь по условию

В. По условию

. В ходе решения пункта Б мы получили, что

Значит,

Покажем, что случай

возможен. Это равенство выполняется, например, для прогрессий

Для них

Ответ:

Например, и ;
нет;
.

Это задание составили эксперты «СтатГрада» для Яндекса

Это задание решали 10 тыс. раз. С ним справились 10% пользователей.

19. Задание#T3608

На доске написано несколько различных натуральных чисел, произведение любых двух из которых больше и меньше

Может ли на доске быть чисел?
Может ли на доске быть чисел?
Какое наибольшее значение может принимать сумма чисел на доске, если их четыре?

Это задание взято из досрочного варианта ФИПИ для ЕГЭ-2017

20. Задание#T3556

Пусть

обозначает сумму квадратов всех цифр натурального числа .

Существует ли такое трёхзначное число , что ?
Существует ли такое трёхзначное число , что ?
Какое наименьшее значение может принимать выражение , если — трёхзначное число?

Показать разбор

А. Такое число существует. Например, для числа

имеем

Б. Заметим, что для любого целого числа число либо делится на , если чётно, либо даёт при делении на остаток , если нечётно. Значит, сумма квадратов всех цифр произвольного трёхзначного числа может делиться на , только если квадрат каждой из его цифр делится на , то есть когда все его цифры чётны. Следовательно, если

, то все цифры числа чётны и либо

, либо

. Значит, искомого числа не существует.

В. Пусть

, где , ,

— цифры. Тогда

Наименьшие возможные значения выражений

, где , ,

— цифры, равны

соответственно и достигаются при

. Значит,

При

имеем

. Следовательно, наименьшее значение, которое может принимать выражение

, если — трёхзначное число, равно

Ответ:

Да;
Нет;
.

Содержание критерия	Баллы
Получены верные обоснованные ответы в пунктах А, Б и В
Получены верные обоснованные ответы в пунктах А и Б, либо получены верные обоснованные ответы в пунктах А и В
Получен верный обоснованный ответ в пункте Б, пункты А и В не решены, либо получен верный обоснованный ответ в пункте В, пункты А и Б не решены
Приведён пример в пункте А, пункты Б и В не решены
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше
Максимальный балл

Это задание составили эксперты «СтатГрада» для Яндекса

21. Задание#T3529

Пусть

обозначает сумму квадратов всех цифр натурального числа .

Существует ли такое трёхзначное число , что ?
Существует ли такое трёхзначное число , что ?
Какое наименьшее значение может принимать выражение , если — трёхзначное число?

Показать разбор

А. Такое число существует. Например, для числа

имеем

, то все цифры числа чётны и либо

, либо

. Значит, искомого числа не существует.

В. Пусть

, где , ,

— цифры. Тогда

Наименьшие возможные значения выражений

, где , ,

— цифры, равны

, и

соответственно и достигаются при

. Значит,

При

имеем

. Следовательно, наименьшее значение, которое может принимать выражение

, если — трёхзначное число, равно

Ответ:

Да;
Нет;
.

Содержание критерия	Баллы
Получены верные обоснованные ответы в пунктах А, Б и В
Получены верные обоснованные ответы в пунктах А и Б, либо получены верные обоснованные ответы в пунктах А и В
Получен верный обоснованный ответ в пункте Б, пункты А и В не решены, либо получен верный обоснованный ответ в пункте В, пункты А и Б не решены
Приведён пример в пункте А, пункты Б и В не решены
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше
Максимальный балл

Это задание составили эксперты «СтатГрада» для Яндекса

22. Задание#T3510

Пусть

обозначает сумму квадратов всех цифр натурального числа .

Существует ли такое трёхзначное число , что ?
Существует ли такое трёхзначное число , что ?
Какое наименьшее значение может принимать выражение , если — трёхзначное число?

Показать разбор

А. Такое число существует. Например, для числа

имеем

, то все цифры числа чётны и либо

, либо

. Значит, искомого числа не существует.

В. Пусть

, где , ,

— цифры. Тогда

Наименьшие возможные значения выражений

, где , ,

— цифры, равны

, и соответственно и достигаются при

. Значит,

При

имеем

. Следовательно, наименьшее значение, которое может принимать выражение

, если — трёхзначное число, равно

Ответ:

Да;
Нет;
.

Содержание критерия	Баллы
Получены верные обоснованные ответы в пунктах А, Б и В
Получены верные обоснованные ответы в пунктах А и Б, либо получены верные обоснованные ответы в пунктах А и В
Получен верный обоснованный ответ в пункте Б, пункты А и В не решены, либо получен верный обоснованный ответ в пункте В, пункты А и Б не решены
Приведён пример в пункте А, пункты Б и В не решены
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше
Максимальный балл

Это задание составили эксперты «СтатГрада» для Яндекса

23. Задание#T3378

Пусть

обозначает сумму квадратов всех цифр натурального числа .

Существует ли такое трёхзначное число , что ?
Существует ли такое трёхзначное число , что ?
Какое наименьшее значение может принимать выражение , если — трёхзначное число?

Показать разбор

А. Такое число существует. Например, для числа

имеем

, то все цифры числа чётны и либо

, либо

. Значит, искомого числа не существует.

В. Пусть

, где , ,

— цифры. Тогда

Наименьшие возможные значения выражений

, где , ,

— цифры, равны ,

соответственно и достигаются при

. Значит,

При

имеем

. Следовательно, наименьшее значение, которое может принимать выражение

, если — трёхзначное число, равно

Ответ:

Да;
Нет;
.

Содержание критерия	Баллы
Получены верные обоснованные ответы в пунктах А, Б и В
Получены верные обоснованные ответы в пунктах А и Б, либо получены верные обоснованные ответы в пунктах А и В
Получен верный обоснованный ответ в пункте Б, пункты А и В не решены, либо получен верный обоснованный ответ в пункте В, пункты А и Б не решены
Приведён пример в пункте А, пункты Б и В не решены
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше
Максимальный балл

Это задание составили эксперты «СтатГрада» для Яндекса

24. Задание#T1509

В школах

учащиеся писали тест. Из каждой школы тест писали, по крайней мере, учащихся, а суммарно тест писали учащихся. Каждый учащийся, писавший тест, набрал натуральное количество баллов. Оказалось, что в каждой школе средний балл за тест был целым числом. После этого один из учащихся, писавших тест, перешёл из школы

в школу

, а средние баллы за тест были пересчитаны в обеих школах.

Мог ли средний балл в школе уменьшиться в раз?
Средний балл в школе уменьшился на , средний балл в школе также уменьшился на . Мог ли первоначальный средний балл в школе равняться ?
Средний балл в школе уменьшился на , средний балл в школе также уменьшился на . Найдите наименьшее значение первоначального среднего балла в школе .

Показать разбор

Решение.

А. Пусть в школе

писали тест учащихся, один из них набрал балл, а второй набрал баллов и перешёл в школу

. Тогда средний балл в школе

уменьшился в раз.

Б. Пусть в школе

писали тест учащихся, средний балл равнялся , а перешедший в неё учащийся набрал баллов. Тогда получаем:

;

Если

, то

не делится на , а

делится на . Но это невозможно, поскольку

В. Пусть в школе

средний балл равнялся . Тогда получаем:

;

Заметим, что если

или

, то

не делится на . Если

или

, то

. В первом случае

, а во втором

. Значит, ни один из этих случаев не возможен.

При

получаем

. Этот случай реализуется, например, если в школе

писали тест учащихся, из них набрали по баллу, а — по балла, в школе

писали тест учащихся и каждый набрал по баллов, а у перешедшего из одной школы в другую учащегося — балла.

Ответ:

Да;
Нет;
5.

Содержание критерия	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на балл) результаты.
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на балл) результатов.
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на балл) результатов.
Верно получен один из следующих результатов: – обоснованное решение пункта А; – обоснованное решение пункта Б; – искомая оценка в пункте В; – пример в пункте В, обеспечивающий точность предыдущей оценки.
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.
Максимальный балл

Это задание взято из демовариантов ФИПИ 2018-2020

0 баллов сегодня

дней без пропуска

вс

пн

вт

ср

чт

пт

сб