Задание 18. Задача с параметром: все задания

Ответом к заданию по математике может быть целое число, конечная десятичная дробь (записывайте её через запятую, вот так: 2,5) или последовательность цифр (пишите без пробелов: 97531).

Версия для печати

1. Задание#T30273

Найдите все значения при каждом из которых уравнение

имеет единственный корень.

Показать разбор

Перепишем уравнение в виде

и рассмотрим графики функций

Поскольку правая часть формулы

неотрицательна, левая её часть тоже не может быть отрицательной. Поэтому

откуда

Значит, графиком функции

является та часть окружности

ординаты точек которой неотрицательны, т. е. полуокружность радиуса с центром в точке

расположенная не ниже оси абсцисс. Эта полуокружность имеет с осью абсцисс общие точки

Графиком функции

является прямая. Заметим, что

и если

то

вне зависимости от значений параметра. Поэтому прямая

при любом значении параметра проходит через точку

Данное уравнение имеет единственный корень только в том случае, когда эта прямая имеет с полуокружностью единственную общую точку. Последнее возможно, если эта прямая касается полуокружности либо расположена между прямыми

так, что её угловой коэффициент

где и — угловые коэффициенты прямых

соответственно. Поскольку наиболее удалённая от оси абсцисс точка полуокружности имеет ту же ординату, что и точка

прямая

параллельная оси абсцисс, будет касательной к полуокружности. В этом случае

Найдём теперь и Поскольку точка

принадлежит прямой

её координаты удовлетворяют уравнению этой прямой. Поэтому

откуда

Таким образом,

Поскольку точка

принадлежит прямой

её координаты удовлетворяют уравнению этой прямой. Поэтому

откуда

Таким образом,

Значит,

если

откуда

Ответ:

Это задание составили эксперты МЦНМО

2. Задание#T30272

Найдите все значения при каждом из которых имеет ровно три различных решения система уравнений

Показать разбор

Первое уравнение системы является уравнением окружности с центром в точке

и радиусом График функции

получается параллельным переносом на вектор

графика функции

Поскольку график функции

представляет собой прямой угол с вершиной в точке

и сторонами, лежащими на прямых

выше оси абсцисс, график функции

также представляет собой прямой угол, но с вершиной в точке

и сторонами, параллельными прямым

Сразу же заметим, что прямая

на которой лежит вершина угла, является касательной к окружности.

Ровно три общие точки фигуры имеют в следующих случаях.

Вершина прямого угла лежит в точке касания окружности и прямой а его стороны пересекают окружность в двух точках (первый случай). Это возможно, только если
Одна из сторон прямого угла пересекает окружность в двух точках, а другая касается окружности в точке (второй случай) или в точке (третий случай). Найдём значения параметра для этих двух случаев. Поскольку радиус окружности, проведённый в точку касания окружности и прямой, перпендикулярен прямой, четырёхугольник является квадратом со стороной и диагональю Тогда Следовательно, для случая касания в точке получаем Для касания стороны угла и окружности в точке аналогично получаем ещё одно значение параметра:

При

или

прямой угол имеет не более двух общих точек с окружностью.

При

или

прямой угол имеет четыре общие точки с окружностью.

Ответ:

Это задание составили эксперты МЦНМО

3. Задание#T30271

Найдите все значения при каждом из которых имеет единственное решение система уравнений

Показать разбор

При

уравнение

является уравнением окружности с центром в точке

и радиусом При

это уравнение является уравнением окружности с центром в точке

и тем же радиусом.

Если

второе уравнение данной системы принимает вид

откуда

Эти числа не являются решением первого уравнения системы. Если

второе уравнение данной системы является уравнением окружности с центром в точке

и радиусом

Таким образом, требуется найти все отличные от нуля значения параметра при каждом из которых окружность имеет единственную общую точку с объединением окружностей и

Из точки проведём луч

и обозначим через и точки его пересечения с окружностью

где лежит между и

Так как

получаем, что

При

или

окружности и не пересекаются.

При

окружности и имеют две общие точки.

При

или

окружности и касаются.

Из точки проведём луч

и обозначим через и точки его пересечения с окружностью

где лежит между и

Так как

получаем, что

При

или

окружности и не пересекаются.

При

окружности и имеют две общие точки.

При

или

окружности и касаются.

Данная система имеет единственное решение тогда и только тогда, когда окружность касается ровно одной из двух окружностей и и не имеет ни одной общей точки с другой окружностью. Так как

условию задачи удовлетворяют только числа

откуда

или

Ответ:

Это задание составили эксперты МЦНМО

4. Задание#T30270

Найдите все значения при каждом из которых имеет единственное решение система уравнений

Показать разбор

Первое уравнение системы является уравнением окружности с центром

и радиусом Левая часть второго уравнения равна сумме расстояний от точки

координатной плоскости

до точек

этой плоскости. Заметим, что длина отрезка

равна

т. е. равна правой части второго уравнения системы. Поэтому

откуда следует, что точка

принадлежит отрезку

Теперь условие задачи можно перевести с языка формул на язык расстояний: решить задачу — значит найти все значения параметра при каждом из которых существует единственная точка

координатной плоскости

которая принадлежит как окружности с центром

и радиусом так и отрезку с концами

Таким образом, требуется найти такое положение точки

на оси абсцисс, при котором прямая

касается окружности в точке

Последнее возможно в двух случаях, при этом соответственные значения параметра равны по абсолютной величине и противоположны по знаку. В любом случае отрезок

является радиусом, проведённым в точку касания, то есть

Но

значит, угол

Поэтому

(где точка — начало координат). Следовательно,

Ответ:

Это задание составили эксперты МЦНМО

5. Задание#T30269

Найдите все значения при каждом из которых уравнение

имеет ровно три различных корня.

Показать разбор

Перепишем данное уравнение в виде

и рассмотрим графики функций

График функции

получается из графика функции

это парабола, ветви которой направлены вверх, вершина имеет координаты

точками пересечения параболы с осями координат являются

с помощью зеркального отражения (симметрии) относительно оси абсцисс части параболы, расположенной ниже этой оси. График функции

получается из графика функции

(этот график представляет собой прямой угол с вершиной в точке

и сторонами, лежащими на прямых

выше оси абсцисс) параллельным переносом на вектор

Таким образом, графиком функции

является прямой угол с вершиной в точке

где

Из двух последних формул следует, что

Следовательно, вершина угла

лежит на прямой

а не является произвольной точкой плоскости. Данное уравнение имеет ровно три различных корня, если графики функций имеют ровно три общие точки, что возможно только в двух случаях: соответствующие положения угла

для этих случаев обозначены на рисунке цифрами и

В случае сторона угла

касается параболы

в точке, лежащей на отражённом участке параболы

(отсюда

) левее вершины угла, то есть в точке, абсцисса которой меньше (отсюда

). Касание означает, что квадратное уравнение

имеет единственный корень, то есть что его дискриминант равен нулю. Приведём уравнение к стандартному виду

и, приравняв дискриминант

к нулю, найдём

В случае сторона угла, расположенная слева от его вершины (отсюда

), проходит через точку

Поэтому

откуда

Ответ:

Это задание составили эксперты МЦНМО

6. Задание#T30268

Найдите все значения при каждом из которых уравнение

имеет единственный корень.

Показать разбор

Уравнение не меняется при замене на

Поэтому если число является корнем уравнения, то и число

является его корнем. Для того чтобы уравнение имело единственный корень, необходимо выполнение условия

откуда

Таким образом, если данное уравнение имеет единственный корень, то этим корнем может быть только число

Подставив

в данное уравнение, найдём, при каких значениях параметра число является корнем уравнения. При

уравнение примет вид

Поскольку

получим уравнение

откуда

или

Корнями двух последних уравнений являются

При этих значениях параметра число является корнем уравнения. Но из этого ещё не следует, что будет единственным корнем. Поэтому нужно рассмотреть данное уравнение при всех допустимых значениях параметра и установить в каждом случае, будет ли число единственным корнем уравнения или нет. При

уравнение примет вид

Аналогичное уравнение, только относительно переменной было решено ранее. Корнями этого уравнения являются числа

Значит, при

уравнение имеет больше одного корня. При

уравнение принимает вид

При

уравнение сводится к уравнению

откуда

Последнее уравнение, квадратное относительно

не имеет корней в силу отрицательности дискриминанта. При

уравнение принимает вид

и имеет единственный корень

При

получаем уравнение

откуда

Последнее уравнение, как было показано выше, не имеет корней. Значит, при

данное уравнение имеет единственный корень.

Ответ:

Это задание составили эксперты МЦНМО

7. Задание#T30267

Найдите все значения при каждом из которых система уравнений

имеет единственное решение.

Показать разбор

Заметим, что если

— решение системы, то и

— решение системы. Следовательно, для единственности решения необходимо, чтобы выполнялось условие

то есть

При

система примет вид

Если

то

если

то

Итак, допустимыми значениями параметра являются лишь значения

Пусть

Тогда данная система примет вид

Понятно, что стандартные методы решения здесь опять не работают. Попытаемся оценить левую и правую части первого уравнения полученной системы с учётом её второго уравнения. Поскольку

имеем

Из второго уравнения полученной системы следует, что

Тогда

Таким образом,

Следовательно,

причём знак равенства возможен только в случае, когда

Получаем систему

откуда

Значит, при

данная система имеет единственное решение

Пусть теперь

Тогда данная система примет вид

Здесь провести оценку аналогично тому, как это было сделано для случая

уже не получится. Попробуем доказать, что последняя система имеет более одного решения. Для этого достаточно эти решения указать, найдя их, например, подбором. Одно из решений получить довольно просто, для него, как известно,

Из первого уравнения получим, что в этом случае

но тогда и второе уравнение обращается в верное равенство, то есть

— решение системы. Остаётся заметить, что и пара чисел

является её решением. Таким образом, при

система имеет более одного решения.

Ответ:

Это задание составили эксперты МЦНМО

8. Задание#T30266

Найдите все значения при каждом из которых уравнение

имеет хотя бы один корень.

Показать разбор

Перепишем уравнение в виде

и рассмотрим функции

определённые и непрерывные на всей числовой прямой. График функции

представляет собой ломаную, состоящую из отрезков прямых и лучей. При

каждое звено ломаной является частью прямой вида

где

(поскольку вне зависимости от «раскрытия» другого модуля коэффициент при x будет отрицательным). Следовательно, на промежутке

функция

убывает от

до

Совершенно аналогично можно показать, что на промежутке

функция

возрастает от

до

Поэтому в точке

эта функция достигает своего наибольшего значения, т. е.

Ясно, что

причём на промежутке

функция

возрастает от

до

а на промежутке

функция

убывает от

до

Поэтому для рассматриваемых функций уравнение

имеет хотя бы один корень в том и только том случае, если

то есть если

При

последнее неравенство приводится к виду

откуда

При

неравенство

приводится к виду

то есть

откуда

Ответ:

Это задание составили эксперты МЦНМО

9. Задание#T30265

Найдите все значения при каждом из которых система уравнений

имеет хотя бы одно решение.

Показать разбор

Поскольку

из первого уравнения системы следует, что

Поскольку

из второго уравнения системы следует, что

Таким образом,

Третье уравнение системы, раскрывая скобки в его левой части и приводя подобные слагаемые, можно переписать так:

Поскольку

из последнего уравнения следует, что

откуда

Учитывая неравенство

получаем, что допустимыми значениями параметра являются только и

Пусть

Тогда из второго уравнения данной системы получим

Поэтому первое уравнение системы примет вид

откуда

При

третье уравнение системы, очевидно, выполнено.

Пусть

Тогда левая часть первого уравнения данной системы не меньше а правая — не больше Равенство возможно, только если

откуда

Тогда второе уравнение данной системы принимает вид

и, значит,

При

последнее уравнение данной системы принимает вид

Из двух значений

только

является корнем уравнения

Ответ:

Это задание составили эксперты МЦНМО

10. Задание#T30264

Найдите все значения для каждого из которых уравнение

имеет хотя бы один корень.

Показать разбор

Перепишем уравнение в виде

Рассмотрим функцию

монотонно возрастающую на всей числовой прямой (как сумма возрастающих функций). В силу возрастания функции

равенство

будет выполняться в том и только том случае, если

В нашем случае

Таким образом, данное уравнение можно переписать так:

откуда

Для того чтобы полученное (а значит, и данное) уравнение имело хотя бы один корень, необходимо и достаточно, чтобы его дискриминант

был неотрицателен, т. е.

откуда

Ответ:

Это задание составили эксперты МЦНМО

11. Задание#T30152

Найдите все значения параметра , при каждом из которых множество значений функции

содержит отрезок

Показать разбор

Запишем функцию в виде

Если при некоторых значениях существуют такие числа что выполняются равенства

то отрезок

будет принадлежать множеству значений данной функции.

Первое уравнение:

Уравнение имеет решение при любом

Второе уравнение:

Уравнение имеет решение тогда и только тогда, когда его дискриминант неотрицателен

Решение этого неравенства:

Следовательно, условию задачи удовлетворяют только все значения

Ответ:

Это задание составили эксперты «СтатГрада» для Яндекса

Это задание решали 9 тыс. раз. С ним справились 25% пользователей.

12. Задание#T30133

Найдите все значения параметра при каждом из которых множество значений функции

содержит отрезок

Показать разбор

Запишем функцию в виде

Если при некоторых значениях существуют такие числа

что выполняются равенства

то отрезок

будет принадлежать множеству значений данной функции.

Первое уравнение:

Уравнение имеет решение при любом

Второе уравнение:

Уравнение имеет решение тогда и только тогда, когда его дискриминант неотрицателен:

Решением этого неравенства является множество

Следовательно, условию задачи удовлетворяют только все значения

Ответ:

Это задание составили эксперты «СтатГрада» для Яндекса

Это задание решали 4 тыс. раз. С ним справились 23% пользователей.

13. Задание#T9252

Найдите все положительные значения при каждом из которых система

имеет единственное решение.

Показать разбор

Если

, то уравнение

задаёт окружность с центром в точке

радиусом а если

то оно задаёт окружность с центром в точке

таким же радиусом (см. рисунок).

При положительных значениях уравнение

задаёт окружность с центром в точке

радиусом Поэтому задача состоит в том, чтобы найти все значения при каждом из которых окружность имеет единственную общую точку с объединением окружностей и

Из точки проведём луч

и обозначим через и точки его пересечения с окружностью , где лежит между и

Так как

то

При

или

окружности и не пересекаются.

При

окружности и имеют две общие точки.

При

или

окружности и касаются.

Из точки проведём луч

и обозначим через и точки его пересечения с окружностью

где лежит между и

Так как

то

При

или

окружности и не пересекаются.

При

окружности и имеют две общие точки.

При

или

окружности и касаются.

Исходная система имеет единственное решение тогда и только тогда, когда окружность касается ровно одной из двух окружностей и и не пересекается с другой. Так как