Задание 17. Финансовая математика: все задания

Ответом к заданию по математике может быть целое число, конечная десятичная дробь (записывайте её через запятую, вот так: 2,5) или последовательность цифр (пишите без пробелов: 97531).

Версия для печати

1. Задание#T30151

сентября планируется взять кредит в банке на месяцев. Условия его возврата таковы:

-го числа каждого месяца долг возрастает на по сравнению с концом предыдущего месяца;
со -го по -е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на -е число предыдущего месяца.

Какую сумму следует взять в кредит, чтобы общая сумма выплат после полного погашения равнялась

млн рублей?

Показать разбор

Пусть сумма кредита равна Долг перед банком по состоянию на -е число должен уменьшаться до нуля равномерно:

По условию -го числа каждого месяца долг возрастает на

Значит, последовательность размеров долга по состоянию на -е число такова:

Таким образом, выплаты должны быть следующими:

Всего следует выплатить:

По условию

млн рублей. Значит, сумма, взятая в кредит, равна

млн рублей.

Ответ:

млн рублей.

Это задание составили эксперты «СтатГрада» для Яндекса

Это задание решали 12 тыс. раз. С ним справились 49% пользователей.

2. Задание#T30132

сентября планируется взять кредит в банке на месяцев. Условия его возврата таковы:

-го числа каждого месяца долг возрастает на по сравнению с концом предыдущего месяца;
со -го по -е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на -е число предыдущего месяца.

Какую сумму следует взять в кредит, чтобы общая сумма выплат после полного погашения равнялась

млн рублей?

Показать разбор

Пусть сумма кредита равна Долг перед банком по состоянию на -е число должен уменьшаться до нуля равномерно:

По условию -го числа каждого месяца долг возрастает на

Значит, последовательность размеров долга по состоянию на -е число такова:

Таким образом, выплаты должны быть следующими:

Всего следует выплатить

По условию

млн рублей. Значит, сумма, взятая в кредит, равна млн рублей.

Ответ: млн рублей.

Это задание составили эксперты «СтатГрада» для Яндекса

Это задание решали 6 тыс. раз. С ним справились 54% пользователей.

3. Задание#T29473

В июле планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:

каждый январь долг возрастает на по сравнению с концом предыдущего года;
с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга, равную млн рублей.

Сколько млн рублей было взято в банке, если известно, что он был полностью погашен тремя равными платежами (то есть за три года)?

Показать разбор и ответ

Это задание составили эксперты МЦНМО

Это задание решали 2 тыс. раз. С ним справились 35% пользователей.

4. Задание#T29472

Производство некоторого товара облагалось налогом в размере рублей за единицу товара. После того как государство, стремясь увеличить сумму налоговых поступлений, увеличило налог в два с половиной раза (до

) сумма налоговых поступлений не изменилась.

На сколько процентов государству следует изменить налог после этого, чтобы добиться максимальных налоговых сборов, если известно, что при налоге равном

рублей за единицу товара объём производства товара составляет

единиц, если это число положительно, и единиц иначе?

Показать разбор и ответ

Налоговые сборы составляют

рублей при

Заметим, что графиком функции

является парабола, ветви которой направлены вниз. Следовательно, наибольшее значение функции

равно ординате вершины этой параболы. Поскольку

абсцисса вершины параболы равна

Так как

составляет

от

государству следует понизить налог на

Ответ: 30

Это задание составили эксперты МЦНМО

Это задание решали 1 тыс. раз. С ним справились 23% пользователей.

5. Задание#T29471

В двух областях есть по

рабочих, каждый из которых готов трудиться по часов в сутки на добыче алюминия или никеля. В первой области один рабочий за час добывает

кг алюминия или

кг никеля. Во второй области для добычи кг алюминия в день требуется человеко-часов труда, а для добычи кг никеля в день требуется

человеко-часов труда.

Обе области поставляют добытый металл на завод, где для нужд промышленности производится сплав алюминия и никеля, в котором на кг алюминия приходится кг никеля. При этом области договариваются между собой вести добычу металлов так, чтобы завод мог произвести наибольшее количество сплава.

Сколько килограммов сплава при таких условиях ежедневно сможет произвести завод?

Показать разбор и ответ

Поскольку в первой области находится

рабочих, готовых работать по часов в сутки, эта область произведёт

человеко-часов труда. Пусть из этих человеко-часов были потрачены на добычу алюминия. Тогда

были потрачены на добычу никеля. Следовательно, в первой области будет добыто

кг алюминия и

кг никеля.

Аналогично, вторая область произведёт

человеко-часов труда. Пусть

из этих человеко-часов были потрачены на добычу алюминия. Тогда во второй области будет добыто кг алюминия. Следовательно, на добычу никеля было потрачено

человеко-часов, откуда находим, что во второй области будет добыто

кг никеля. Значит суммарно области добыли

кг алюминия и

кг никеля.

Поскольку для сплава нужно кг алюминия и кг никеля, отношение произведённого обоими областями алюминия к произведённому ими никелю равно

Отсюда получаем уравнение

Заметим, что если было произведено кг сплава, то количество алюминия в этом сплаве равно

кг. Значит, для того чтобы найти наибольшее количество килограммов сплава, нужно найти наибольшее количество килограммов алюминия в этом сплаве. Таким образом, нужно найти наибольшее значение выражения

при условии

Подставим значение из второго выражения в первое:

Нужно найти наибольшее значение функции

при

Найдём производную функции

Найдём точку экстремума:

Поскольку

значит,

– единственная точка экстремума.

Найдём значения функции

в найденной точке и на концах отрезка:

Следовательно, наибольшее значение функции

равно

Таким образом, было выплавлено

кг алюминия. Масса алюминия составляет

от массы сплава, значит, областями было произведено

кг сплава.

Ответ: 636

Это задание составили эксперты МЦНМО

Это задание решали 830 раз. С ним справились 29% пользователей.

6. Задание#T29470

В июле планируется взять кредит в банке на сумму

рублей.

Условия его возврата таковы:

каждый январь долг возрастает на по сравнению с концом предыдущего года;
с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга.

Найдите число если известно, что кредит был полностью погашен за два года, причём в первый год было переведено

рублей, а во второй год —

рублей?

Показать разбор и ответ

Пусть

По условию долг перед банком (в рублях) по состоянию на июль должен уменьшаться следующим образом:

откуда

Решая квадратное уравнение, получаем

или

Последнее решение не удовлетворяет условию задачи. Значит,

Ответ: 12,5

Это задание составили эксперты МЦНМО

Это задание решали 2 тыс. раз. С ним справились 33% пользователей.

7. Задание#T29469

На каждом из двух комбинатов изготавливают детали A и B. На первом комбинате работает

человек, и один рабочий изготавливает за смену деталей A или детали B. На втором комбинате работает

человек, и один рабочий изготавливает за смену детали A или деталей B.

Оба эти комбината поставляют детали на комбинат, из которых собирают изделие, для изготовления которого нужна деталь A и детали B. При этом комбинаты договариваются между собой изготавливать детали так, чтобы можно было собрать наибольшее количество изделий.

Сколько изделий при таких условиях может собрать комбинат за смену?

Показать разбор и ответ

Пусть рабочих первого завода изготавливают детали A. Тогда

рабочих первого завода изготавливают детали B. Следовательно, первый завод производит деталей A и

деталей B.

Аналогично, пусть рабочих второго завода изготавливают детали A. Тогда

рабочих второго завода изготавливают детали B. Следовательно, второй завод производит деталей A и

деталей B.

При этом,

Таким образом, оба завода производят

деталей A и

деталей B.

Поскольку на изготовление одного изделия требуются деталь A и детали B, отношение количества деталей A к количеству деталей B, изготовленных комбинатами, должно равняться

Следовательно,

Поскольку количество деталей A равно количеству изделий, число изделий будет наибольшим тогда и только тогда, когда число деталей A, то есть величина

будет наибольшей. Это равносильно тому, что величина

будет наибольшей.

Таким образом, нужно найти наибольшее значение выражения

при условии

Выразим через в последнем уравнении:

Тогда

Отсюда следует, что нужно найти наибольшее значение при котором

Условие

выполнено, так как

Условие

равносильно условию

Следовательно, наибольшее значение равно

Тогда

Значит, комбинат за смену может собрать

изделий.

Ответ: 720

Это задание составили эксперты МЦНМО

Это задание решали 2 тыс. раз. С ним справились 15% пользователей.

8. Задание#T29468

Николай является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производятся абсолютно одинаковые товары, но на заводе, расположенном во втором городе, используется более совершенное оборудование. В результате, если рабочие на заводе, расположенном в первом городе, трудятся суммарно часов в неделю, то за эту неделю они производят единиц товара; если рабочие на заводе, расположенном во втором городе, трудятся суммарно часов в неделю, то за эту неделю они производят

единиц товара. За каждый час работы (на каждом из заводов) Николай платит рабочему

рублей. Николай готов выделять

рублей в неделю на оплату труда рабочих.

Какое наибольшее количество единиц товара можно произвести за неделю на этих двух заводах?

Показать разбор и ответ

Пусть на заводе, расположенном в первом городе, рабочие трудятся часов, а на заводе, расположенном во втором городе,

часов. Тогда в течение недели будет произведено

единиц товара. При этом затраты на оплату труда составят

рублей.

По условию

откуда

Таким образом, нужно найти наибольшее значение выражения

при условии

Выразим через во втором выражении и подставим полученное значение в первое выражение:

Задача свелась к нахождению наибольшего значения функции

на множестве

Для этого найдём производную функции

Найдём точки экстремума:

Поскольку

получаем, что

– единственная точка экстремума.

Найдём значения функции

в найденной точке и на концах отрезка:

Наибольшее значение

равно

значит, наибольшее количество единиц товара равно

Ответ: 1690

Это задание составили эксперты МЦНМО

Это задание решали 950 раз. С ним справились 34% пользователей.

9. Задание#T29467

Строительство нового завода стоит млн рублей. Затраты на производство тыс. ед. продукции на таком заводе равны

млн рублей в год. Если продукцию завода продать по цене тыс. рублей за единицу, то прибыль фирмы (в млн рублей) за один год составит

Когда завод будет построен, фирма будет выпускать продукцию в таком количестве, чтобы прибыль была наибольшей.

При каком наименьшем значении строительство завода окупится не более чем за лет?

Показать разбор и ответ

Прибыль фирмы (в млн рублей) за один год составляет

Это выражение – квадратный трёхчлен, который достигает своего наибольшего значения при

Тогда наибольшее значение этого выражения при заданном равно

Строительство завода окупится не более чем за лет, если за год прибыль составит не менее

(млн рублей). Тогда

Решая это неравенство методом интервалов и учитывая, что положительно, находим, что

Поскольку требуется взять наименьшим, получаем, что

Ответ: 30

Это задание составили эксперты МЦНМО

Это задание решали 908 раз. С ним справились 40% пользователей.

10. Задание#T29466

15 июля планируется взять кредит на сумму 700000 рублей. Условия его возврата таковы:

31-го числа каждого месяца долг возрастает на 1% по сравнению с концом предыдущего месяца;
со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить некоторую часть долга.

На какое минимальное количество месяцев можно взять кредит при условии того, чтобы ежемесячные выплаты были не более 100000 рублей?

Показать разбор и ответ

Заметим, что меньше, чем за 8 месяцев погасить не удастся, поскольку за 7 месяцев суммарно будет выплачено не более 700000 рублей, что покроет первоначальную сумму долга, но не покроет процентов. За 8 месяцев долг суммарно возрастёт не более, чем на 8 · 0,01 · 700000 = 56000 рублей, то есть восьмой платёж полностью погасит кредит.

Ответ: 8

Это задание составили эксперты МЦНМО

Это задание решали 3 тыс. раз. С ним справились 29% пользователей.

11. Задание#T29465

В июле планируется взять кредит в банке на сумму млн рублей на некоторый срок. Условия его возврата таковы:

каждый январь долг возрастает на по сравнению с концом предыдущего года;
с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года.

На какой минимальный срок следует брать кредит, чтобы наибольший годовой платёж по кредиту не превысил

млн руб.?

Показать разбор и ответ

Пусть кредит взят на лет. По условию долг перед банком (в млн рублей) по состоянию на июль должен уменьшаться до нуля равномерно:

По условию каждый январь долг возрастает на

Значит, последовательность размеров долга (в млн рублей) в январе такова:

Следовательно, наибольшая выплата составляет

Получаем

откуда

Таким образом,

Ответ: 8

Это задание составили эксперты МЦНМО

Это задание решали 2 тыс. раз. С ним справились 19% пользователей.

12. Задание#T29464

В июле планируется взять кредит в банке на сумму млн рублей на лет. Условия его возврата таковы:

каждый январь долг возрастает на по сравнению с концом предыдущего года;
с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года.