Задание 23. Логические выражения: все задания

Ответом к заданию по информатике может быть целое число, десятичная дробь (записывайте её через запятую, вот так: 2,5), последовательность цифр или букв (пишите без пробелов: 97531).

Версия для печати

1. Задание#T30259

Сколько существует различных наборов значений логических переменных

которые удовлетворяют всем перечисленным ниже условиям?

В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений переменных

при которых выполнена данная система равенств.

В качестве ответа Вам нужно указать количество таких наборов.

Показать разбор и ответ

Рассмотрим набор переменных

Эти переменные связаны последовательными импликациями:

и т. д. Чтобы все эти импликации были истинными, значения набора должны иметь вид

– сначала идут нули, затем единицы. Если

то все переменные должны быть равны нулю. Если

то для остальных переменных есть вариантов: все нули, единицы от и далее, единицы от и далее и т. д.

У переменных

импликации направлены в обратную сторону, значения этого набора должны иметь вид

Если

то для остальных переменных есть вариантов, если

то остальные переменные должны быть единицами.

Рассмотрим последнее условие

Оно верно в трёх случаях:

Как было показано выше, в этом случае все иксы должны быть равны нулю, а для игреков существует вариантов значений, удовлетворяющих предыдущим условиям.
В этом случае все игреки должны быть равны единице, а для иксов существует вариантов значений.
В этом случае и для иксов, и для игреков существует по вариантов значений, удовлетворяющих предыдущим условиям. Выбор комбинаций для иксов и игреков можно делать независимо, поэтому всего получается вариант.

Общее количество решений равно

Ответ: 99

Это задание составили эксперты «СтатГрада» для Яндекса

Это задание решали 5 тыс. раз. С ним справились 49% пользователей.

2. Задание#T30176

Сколько существует различных наборов значений логических переменных

которые удовлетворяют всем перечисленным ниже условиям?

В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений переменных

при которых выполнена данная система равенств. В качестве ответа Вам нужно указать количество таких наборов.

Показать разбор и ответ

Рассмотрим набор переменных

Эти переменные связаны последовательными импликациями:

и т. д. Чтобы все эти импликации были истинными, значения набора должны иметь вид

– сначала идут нули, затем единицы. Если

то все переменные должны быть равны нулю. Если

то для остальных переменных есть вариантов: все нули, единицы от и далее, единицы от и далее и т. д.

У переменных

импликации направлены в обратную сторону, значения этого набора должны иметь вид

Если

то для остальных переменных есть вариантов, если

то остальные переменные должны быть единицами.

Рассмотрим последнее условие

Оно верно в трёх случаях:

Как было показано выше, в этом случае все иксы должны быть равны нулю, а для игреков существует вариантов значений, удовлетворяющих предыдущим условиям.
В этом случае все игреки должны быть равны единице, а для иксов существует вариантов значений.
В этом случае и для иксов, и для игреков существует по вариантов значений, удовлетворяющих предыдущим условиям. Выбор комбинаций для иксов и игреков можно делать независимо, поэтому всего получается варианта.

Общее количество решений равно

Ответ: 80

Это задание составили эксперты «СтатГрада» для Яндекса

Это задание решали 3 тыс. раз. С ним справились 62% пользователей.

3. Задание#T29796

Сколько существует различных наборов значений логических переменных

которые удовлетворяют всем перечисленным ниже условиям?

В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений переменных

Показать разбор и ответ

Рассмотрим пару

и первое условие. Если среди и есть единица, то

и первое условие истинно независимо от значений и Получаем решения (по количеству возможных комбинаций для и ) для каждой комбинации

При

и первое условие истинно только при

то есть и должны иметь разные значения, это возможно в двух случаях. Запишем в виде таблицы количество подходящих наборов для первого условия в зависимости от значений и :






Всего

Теперь рассмотрим пару

и второе условие. Рассуждения, аналогичные приведённым выше, показывают, что если в этой паре переменных есть единица, то количество решений равно общему количеству решений для пары

то есть Если же и равны нулю, то второе условие будет выполняться только при разных значениях и с учётом первого условия получаем решений. Аналогично рассматриваются оставшиеся условие и пара переменных. В итоге получается такая таблица:






Всего

Ответ: 178

Это задание составили эксперты «СтатГрада» для Яндекса

Это задание решали 3 тыс. раз. С ним справились 66% пользователей.

4. Задание#T29767

Сколько существует различных наборов значений логических переменных

которые удовлетворяют всем перечисленным ниже условиям?

В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений переменных

Показать разбор и ответ

Рассмотрим пару

и первое условие. Если среди и есть единица, то

При

и первое условие истинно только при






Всего

Теперь рассмотрим пару

то есть Если же и равны нулю, то второе условие будет выполняться только при разных значениях и с учётом первого условия получаем решений. Аналогично рассматриваются оставшиеся условия и пары переменных. В итоге получается такая таблица:






Всего

Ответ: 634

Это задание составили эксперты «СтатГрада» для Яндекса

Это задание решали 2 тыс. раз. С ним справились 73% пользователей.

5. Задание#T9804

Сколько существует различных наборов значений логических переменных

которые удовлетворяют всем перечисленным ниже условиям?

В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений переменных

при которых выполнена данная система равенств.

В качестве ответа Вам нужно указать количество таких наборов.

Показать ответ

Это задание взято из демовариантов ФИПИ 2018-2020

Это задание решали 4 тыс. раз. С ним справились 75% пользователей.

6. Задание#T9302

Сколько существует различных наборов значений логических переменных , ,…, , , , …, , которые удовлетворяют всем перечисленным ниже условиям?

Показать ответ

Это задание составил Дмитрий Богданов специально для Яндекса

Это задание решали 2 тыс. раз. С ним справились 33% пользователей.

7. Задание#T8654

Сколько существует различных наборов логических переменных

которые удовлетворяют всем перечисленным ниже условиям?

В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений переменных, при которых выполнено данное равенство. В качестве ответа нужно указать количество таких наборов.

Показать ответ

Это задание решали 1 тыс. раз. С ним справились 39% пользователей.

8. Задание#T4888

Сколько существует различных наборов значений логических переменных , ,

, , ,

, которые удовлетворяют всем перечисленным ниже условиям?

В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений переменных , ,

, , ,

, при которых выполнена данная система равенств. В качестве ответа Вам нужно указать количество таких наборов.

Показать разбор и ответ

1 аналогичное задание

Указание:

Рассмотрите возможные значения для пар

Решение 1:

Рассмотрим пару

. Она не может принимать значения , так как тогда будет ложной импликация

. Все остальные значения этой пары (, , ) допустимы. Всего получается

возможных решения.

Рассмотрим пару

. Она тоже не может принимать значения . Если эта пара состоит из двух нулей, то дизъюнкция

ложна. Тогда для истинности импликации

необходимо, чтобы первая дизъюнкция тоже была равно нулю, то есть пара

состояла из нулей. В остальных случаях (значения

– или ) подходят любые допустимые значения пары

, то есть по решения. Всего получается

решений для двух пар.

Аналогичные рассуждения показывают, что

и т.д.

Получается, что

. Можно последовательно вычислить все значения до или вывести общую формулу

. Всего получается

решений.

Решение 2:

Перекомпонуем условия с учётом того, что для истинности конъюнкции должны быть истинными все её составляющие:

Рассмотрим первое уравнение. Легко видеть, что если какая-то из дизъюнкций вида

ложна, то и все предшествующие ей должны быть ложны, а если какая-то из этих дизъюнкций истинна, то и все последующие должны быть истинны. Получается, что последовательность значений этих дизъюнкций должна иметь вид

. Всего для этих последовательностей из значений получается допустимых вариантов: нулей, нулей и единица, нулей и единицы,

, единиц.

Если значение дизъюнкции равно нулю, то соответствующие и тоже должны быть нулями. Если значение дизъюнкции равно единице, то и могут принимать значения , , . Вариант нужно исключить, так как при этом оказывается ложной импликация

. Остаётся два варианта.

Таким образом, каждый ноль в последовательности значений дизъюнкций соответствует единственной комбинации соответствующих и , а каждая единица – двум таким комбинациям, при этом выбор комбинаций для каждой пары происходит независимо.

Если последовательность значений дизъюнкций имеет вид

и содержит единиц, то ей соответствует возможных комбинаций исходных переменных. Всего получается

решений.

Ответ: 511

Это задание составили эксперты «СтатГрада» для Яндекса

Это задание решали 3 тыс. раз. С ним справились 42% пользователей.

9. Задание#T4834

Сколько существует различных наборов значений логических переменных , ,

, , , ,

, , которые удовлетворяют всем перечисленным ниже условиям?

В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений переменных , ,

, , , ,

, , при которых выполнена данная система равенств.

В качестве ответа Вам нужно указать количество таких наборов.

Показать разбор и ответ

1 аналогичное задание

Указание:

Выражение

можно преобразовать в

Решение:

Заменим

на

, аналогичную замену сделаем во всех условиях. «Перекомпонуем» условия с учётом того, что для истинности конъюнкции должны быть истинными все её составляющие:

Из первого условия следует, что в ряду

нули и единицы должны чередоваться. Для этого ряда получается два варианта:

Из второго условия следует, что для иксов, равных , соответствующий игрек тоже должен быть равен , а для иксов, равных , игрек может быть любым. Никаких других ограничений на игреки нет.

Получается, что если среди иксов есть нулей, то соответствующие им игреки можно выбрать способами. Для иксов, равных , игреки назначаются единственным способом.

В ряду иксов

пять нулей, игреки для этого ряда можно выбрать способами. В ряду

четыре нуля, для игреков получается вариантов. Всего

Ответ: 48

Это задание составили эксперты «СтатГрада» для Яндекса

Это задание решали 4 тыс. раз. С ним справились 32% пользователей.

10. Задание#T2951

Сколько существует различных наборов значений логических переменных

при которых следующие выражения истинны?

Показать ответ

Это задание составил Дмитрий Богданов специально для Яндекса

Это задание решали 430 раз. С ним справились 33% пользователей.

11. Задание#T2950

Сколько существует различных наборов значений логических переменных

при которых следующие выражения истинны?

Показать ответ

Это задание составил Дмитрий Богданов специально для Яндекса

Это задание решали 338 раз. С ним справились 65% пользователей.

12. Задание#T2949

Сколько существует различных наборов значений логических переменных

при которых следующие выражения истинны?

Показать ответ

Это задание составил Дмитрий Богданов специально для Яндекса

Это задание решали 313 раз. С ним справились 68% пользователей.

13. Задание#T2948

Сколько существует различных наборов значений логических переменных

при которых следующие выражения истинны?

Показать ответ

Это задание составил Дмитрий Богданов специально для Яндекса

Это задание решали 333 раза. С ним справились 63% пользователей.

14. Задание#T2947

Сколько существует различных наборов значений логических переменных

при которых следующие выражения истинны?

Показать ответ

Это задание составил Дмитрий Богданов специально для Яндекса

Это задание решали 431 раз. С ним справились 54% пользователей.

15. Задание#T2416

Сколько существует различных наборов значений логических переменных

, которые удовлетворяют всем перечисленным ниже условиям?

В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений переменных, при которых выполняется данная система равенств. В качестве ответа укажите количество таких наборов.

Показать ответ

Это задание взято из Яндекс.ЕГЭ

Это задание решали 750 раз. С ним справились 71% пользователей.

0 баллов сегодня

дней без пропуска

пн

вт

ср

чт

пт

сб

вс