Задание 7. Производная и первообразная: все задания

Ответом к заданию по математике может быть целое число, конечная десятичная дробь (записывайте её через запятую, вот так: 2,5) или последовательность цифр (пишите без пробелов: 97531).

Версия для печати

61. Задание#T1311

На рисунке изображён график дифференцируемой функции

. На оси абсцисс отмечены девять точек:

Найдите все отмеченные точки, в которых производная функции

отрицательна.

В ответе укажите количество этих точек.

Показать разбор и ответ

Это задание взято из демовариантов ФИПИ 2018-2020

Это задание решали 30 тыс. раз. С ним справились 50% пользователей.

62. Задание#T1253

Известно, что касательная к графику функции

в точке параллельна прямой

. Найдите ординату точки .

Показать разбор и ответ

Запишем выражение для производной функции

. В уравнении касательной к графику функции в точке угловой коэффициент равен значению производной функции в этой точке. Известно также, что касательная параллельна прямой

, следовательно, ее угловой коэффициент должен быть равен . Обобщая, получим:

, где — абсцисса точки . Из полученного уравнения видим, что

. Для нахождения ординаты точки подставим полученное значение в уравнение функции:

Ответ: 3

Это задание составили эксперты УЦ Годограф специально для Яндекса

Это задание решали 9 тыс. раз. С ним справились 39% пользователей.

63. Задание#T571

Материальная точка движется прямолинейно по закону

, где — расстояние от точки отсчёта в метрах,

— время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени (в секундах) её скорость была равна м/с?

Показать разбор и ответ

Это задание составили эксперты «СтатГрада» для Яндекса

Это задание решали 15 тыс. раз. С ним справились 47% пользователей.

64. Задание#T559

Материальная точка движется прямолинейно по закону

, где — расстояние от точки отсчёта в метрах,

Показать разбор и ответ

Это задание составили эксперты «СтатГрада» для Яндекса

Это задание решали 12 тыс. раз. С ним справились 48% пользователей.

65. Задание#T547

На рисунке изображены график функции

и касательная к нему в точке с абсциссой . Найдите значение производной функции

в точке .

Показать разбор и ответ

Согласно геометрическому смыслу производной, значение производной в точке касания тангенсу угла наклона данной касательной к оси абсцисс.

Построим треугольник с вершинами в точках

. Угол наклона касательной к оси абсцисс будет равен углу

Ответ: 0,75

Это задание составили эксперты «СтатГрада» для Яндекса

Это задание решали 19 тыс. раз. С ним справились 53% пользователей.

66. Задание#T535

На рисунке изображены график функции

и касательная к нему в точке с абсциссой . Найдите значение производной функции

в точке .

Показать разбор и ответ

Согласно геометрическому смыслу производной, значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной, который, в свою очередь, равен тангенсу угла наклона данной касательной к оси абсцисс. Построим треугольник с вершинами в точках

. Угол наклона касательной к оси абсцисс будет равен углу

Ответ: 0,25

Это задание составили эксперты «СтатГрада» для Яндекса

Это задание решали 22 тыс. раз. С ним справились 47% пользователей.

67. Задание#T523

На рисунке изображён график

— производной функции

, определённой на интервале

Найдите промежутки убывания функции

. В ответе укажите длину наибольшего из них.

Показать разбор и ответ

Это задание составили эксперты «СтатГрада» для Яндекса

Это задание решали 22 тыс. раз. С ним справились 56% пользователей.

68. Задание#T511

На рисунке изображён график

— производной функции

, определённой на интервале

Найдите промежутки убывания функции

. В ответе укажите длину наибольшего из них.

Показать разбор и ответ

Это задание составили эксперты «СтатГрада» для Яндекса

Это задание решали 21 тыс. раз. С ним справились 72% пользователей.

69. Задание#T499

На рисунке изображён график

— производной функции

, определённой на интервале

Найдите количество точек максимума функции

, принадлежащих отрезку

Показать разбор и ответ

Точка максимума – это точка, в которой функция меняет свое поведение с возрастания на убывание. На графике производной функции точки максимума соответствуют точкам смены знака производной с положительного на отрицательный.

На отрезке

функция имеет одну точку максимума

Ответ: 1

Это задание составили эксперты «СтатГрада» для Яндекса

Это задание решали 19 тыс. раз. С ним справились 42% пользователей.

70. Задание#T487

На рисунке изображён график

— производной функции

, определённой на интервале

Найдите количество точек максимума функции

, принадлежащих отрезку

Показать разбор и ответ

Точка максимума – это точка, в которой функция меняет свою монотонность, промежуток возрастания сменяется промежутком убывания. На графике производной функции точки максимума соответствуют точкам смены знака производной с положительного на отрицательный.

На отрезке

функция имеет две точки максимума

Ответ: 2

Это задание составили эксперты «СтатГрада» для Яндекса

Это задание решали 19 тыс. раз. С ним справились 53% пользователей.

71. Задание#T363

На рисунке изображён график функции

, определённой на интервале

. Найдите количество точек, в которых производная функции

равна 0.

Показать ответ

1 аналогичное задание

Это задание составили эксперты «СтатГрада» для Яндекса

Это задание решали 15 тыс. раз. С ним справились 48% пользователей.

72. Задание#T351

На рисунке изображены график функции

и касательная к нему в точке с абсциссой . Найдите значение производной функции

в точке .

Показать разбор и ответ

Для решения этого задания нужно знать геометрический смысл производной, который заключается в следующем:

где — угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции в точке , а — угол наклона касательной к положительному направлению оси абсцисс.

Угол наклона касательной к положительной полуоси тупой, значит тангенс угла будет отрицательный. То, что производная в точке будет отрицательной можно утверждать и потому, что угловой коэффициент касательной отрицательный, так как функция убывает.

Найдем

в прямоугольном

Значит, значение производной в точке равно .

Примечание. Для построения

нужно на касательной выбрать точки с целыми координатами и провести через них прямые, параллельные осям координат.

Ответ: -2

Это задание составили эксперты «СтатГрада» для Яндекса

Это задание решали 15 тыс. раз. С ним справились 46% пользователей.

73. Задание#T339

На рисунке изображены график функции

и касательная к нему в точке с абсциссой .

Найдите значение производной функции

в точке .

Показать разбор и ответ

Значение производной в точке равно угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в этой точке, и равно тангенсу угла наклона касательной.

Угол наклона касательной к положительной полуоси тупой, значит тангенс угла будет отрицательным. Назовем этот угол .

, т. к.

Найдем

в прямоугольном

Значит, значение производной в точке равно

Примечание. Для построения

Ответ: -1,25

Это задание составили эксперты «СтатГрада» для Яндекса

Это задание решали 16 тыс. раз. С ним справились 41% пользователей.

74. Задание#T287

На рисунке изображен график производной функции

, определенной на интервале

Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции

параллельна прямой

или совпадает с ней.

Показать разбор и ответ

Если касательная параллельна прямой

(или совпадает с ней), то ее угловой коэффициент равен угловому коэффициенту этой прямой, т.е. .
Но угловой коэффициент касательной к графику функции есть производная этой функции в точке касания. Следовательно, надо найти количество точек, в которых производная равна , что нетрудно, если дан график этой производной (см. рис.)