Задание 1. ЕГЭ-2010 - Архив: все задания

Ответом к заданию по математике может быть целое число, конечная десятичная дробь (записывайте её через запятую, вот так: 2,5) или последовательность цифр (пишите без пробелов: 97531).

Версия для печати

1. Задание#T27370

На стороне

угла

равного

взята такая точка что

Найдите радиус окружности, проходящей через точки и касающейся прямой

Показать разбор

Центр искомой окружности принадлежит серединному перпендикуляру к отрезку

Обозначим середину отрезка

— основание перпендикуляра, опущенного из точки на прямую

— точку пересечения серединного перпендикуляра с прямой

(см. рисунок а). Из условия касания окружности и прямой

следует, что отрезки

равны радиусу окружности.

Заметим, что точка не может лежать по ту же сторону от прямой

что и точка так как в этом случае расстояние от точки до прямой

меньше, чем расстояние от нее до точки

Из прямоугольного треугольника

с катетом

находим, что

Так как

получаем:

и, следовательно,

Из прямоугольного треугольника

в котором

находим:

В результате получаем уравнение для :

Возведем в квадрат обе части этого уравнения и приведем подобные члены. Получим уравнение

решая которое находим два корня

Если радиус равен то центром окружности является точка (см. рисунок б).

Ответ: или

Другое решение

Пусть точка касания окружности с прямой

лежит на луче

(см. рисунок a). По теореме о касательной и секущей

откуда

Пусть — точка пересечения луча

и перпендикуляра к

проведенного через точку Из прямоугольного треугольника

находим:

тогда

Таким образом, точка удалена от точек и на одно и то же расстояние, равное Следовательно, — центр искомой окружности, а ее радиус равен

Пусть теперь точка касания окружности с прямой

лежит на продолжении

за точку (см. рисунок б), а прямая, проходящая через точку перпендикулярно

пересекает прямую

в точке а окружность вторично — в точке Тогда

Если — радиус окружности, то

По теореме о двух секущих

то есть

откуда находим, что

Ответ: или

Возможны другие формы записи ответа. Например,

радиус окружности равен или

2. Задание#T25049

Билет на автобус стоит 15 рублей.

Какое максимальное число билетов можно будет купить на 100 рублей после повышения цены билета на 20%?

Показать ответ

Это задание решали 167 раз. С ним справились 56% пользователей.

3. Задание#T25048

На графике показано изменение температуры воздуха на протяжении трех суток. На оси абсцисс отмечается время суток в часах, на оси ординат – значение температуры в градусах.

Определите по графику наибольшую температуру воздуха 15 августа.

Показать ответ

Это задание решали 232 раза. С ним справились 47% пользователей.

4. Задание#T25047

Найдите корень уравнения

Показать ответ

Это задание решали 101 раз. С ним справились 68% пользователей.

5. Задание#T25046

В треугольнике

угол равен

В треугольнике
...
угол
...
равен ...
...

Найдите

Показать ответ

Это задание решали 69 раз. С ним справились 54% пользователей.

6. Задание#T25045

Строительная фирма планирует купить м пеноблоков у одного из трёх поставщиков. Цены и условия доставки приведены в таблице.

Поставщик	Стоимость пеноблоков (руб. за 1 м)	Стоимость доставки (руб.)	Дополнительные условия доставки

			При заказе товара на сумму свыше рублей доставка бесплатная
			При заказе товара на сумму свыше рублей доставка бесплатная

Сколько рублей нужно заплатить за самую дешёвую покупку с доставкой?

Показать ответ

Это задание решали 56 раз. С ним справились 55% пользователей.

7. Задание#T25044

Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки см см (см. рисунок).

Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Показать ответ

Это задание решали 87 раз. С ним справились 60% пользователей.

8. Задание#T25043

Найдите значение выражения

Показать ответ

Это задание решали 54 раза. С ним справились 61% пользователей.

9. Задание#T25042

На рисунке изображен график функции

и касательная к этому графику в точке с абсциссой, равной

Найдите значение производной этой функции в точке

Показать ответ

Это задание решали 146 раз. С ним справились 23% пользователей.

10. Задание#T25041

Объём первого цилиндра равен м У второго цилиндра высота в три раза больше, а радиус основания в два раза меньше, чем у первого.

Найдите объём второго цилиндра.

Ответ дайте в кубических метрах.

Показать ответ

Это задание решали 33 раза. С ним справились 55% пользователей.

11. Задание#T25040

Камень брошен вертикально вверх. Пока камень не упал, высота, на которой он находится, описывается формулой

( – высота в метрах,

– время в секундах, прошедшее с момента броска).

Найдите, сколько секунд камень находился на высоте не менее метров.

Показать ответ

Это задание решали 116 раз. С ним справились 22% пользователей.

12. Задание#T25039

Двое рабочих, работая вместе, могут выполнить работу за 12 дней.

За сколько дней, работая отдельно, выполнит эту работу первый рабочий, если он за два дня выполняет такую же часть работы, какую второй – за три дня?

Показать ответ

Это задание решали 106 раз. С ним справились 19% пользователей.

13. Задание#T25038

Решите систему уравнений

Показать разбор

1. Сделаем замену

Тогда

Теперь первое уравнение системы можно привести к виду:

Корни:

или

Получаем:

или

Первое из этих уравнений не имеет корней. Решим второе:

или

2. При каждом из найденных значений решим второе уравнение системы.

А. Если

то

Поскольку

получаем, что

Значит, уравнение

не имеет решений, поскольку его правая часть меньше

Б. Если

то

Ответ:

Возможны другие формы записи ответа. Например:

или

14. Задание#T25037

Сторона основания правильной треугольной призмы

равна а диагональ боковой грани равна

Найдите угол между плоскостью

и плоскостью основания призмы.

Показать разбор

Обозначим середину ребра

(см. рисунок).

Так как треугольник

равносторонний, а треугольник

– равнобедренный, отрезки

перпендикулярны

Следовательно,

– линейный угол двугранного угла с гранями

Из треугольника

найдем:

Из треугольника

найдем:

Из треугольника

найдем:

Искомый угол равен

Ответ:

Возможны другие формы записи ответа. Например,

рад.

и т. п.

Возможны другие решения. Например, решение задачи с использованием векторов или метода координат.

15. Задание#T19431

Найдите наибольшее значение функции

на отрезке

Показать ответ

Это задание решали 55 раз. С ним справились 58% пользователей.

0 баллов сегодня

дней без пропуска

чт

пт

сб

вс

пн

вт

ср