Задание 1. ЕГЭ-2011 - Архив: все задания

Ответом к заданию по математике может быть целое число, конечная десятичная дробь (записывайте её через запятую, вот так: 2,5) или последовательность цифр (пишите без пробелов: 97531).

Версия для печати

1. Задание#T25262

На стороне

угла

равного

взята такая точка что

Найдите радиус окружности, проходящей через точки

и касающейся прямой

Показать разбор

Центр искомой окружности принадлежит серединному перпендикуляру к отрезку

Обозначим середину отрезка

– основание перпендикуляра, опущенного из точки на прямую

– точку пересечения серединного перпендикуляра с прямой

(см. рисунок а). Из условия касания окружности и прямой

следует, что отрезки

равны радиусу окружности.

Заметим, что точка не может лежать по ту же сторону от прямой

что и точка так как в этом случае расстояние от точки до прямой

меньше, чем расстояние от нее до точки

Из прямоугольного треугольника

с катетом

находим, что

Так как

получаем:

и, следовательно,

Из прямоугольного треугольника

в котором

находим:

В результате получаем уравнение для :

Возведем в квадрат обе части этого уравнения и приведем подобные члены. Получим уравнение

решая которое находим два корня

Если радиус равен то центром окружности является точка (см. рисунок б).

Ответ: или

Решение 2.

Пусть точка касания окружности с прямой

лежит на луче

(см. рисунок а). По теореме о касательной и секущей

откуда

Пусть – точка пересечения луча

и перпендикуляра к

проведенного через точку Из прямоугольного треугольника

находим:

тогда

Таким образом, точка удалена от точек

и на одно и то же расстояние, равное Следовательно, – центр искомой окружности, а ее радиус равен

Пусть теперь точка касания окружности с прямой

лежит на продолжении

за точку (см. рисунок б), а прямая, проходящая через точку перпендикулярно

пересекает прямую

в точке а окружность вторично – в точке Тогда

Если – радиус окружности, то

По теореме о двух секущих

то есть

откуда находим, что

Ответ: или

2. Задание#T25036

Решите неравенство

Показать разбор

Найдем, при каких значениях левая часть неравенства имеет смысл:

Значит:

или

Поэтому

Сделаем замену

Получаем:

Таким образом,

откуда

Корни уравнения: и

Условию

или

удовлетворяет только

Ответ:

Решение 2.

Можно не находить область допустимых значений а прийти к соотношению

другим способом. Тогда решение будет немного короче.

Преобразуем неравенство:

Заметим, что

Значит,

Поэтому

Получаем:

Сделаем замену

Получаем:

Таким образом,

Ответ:

3. Задание#T25035

Сторона основания правильной треугольной призмы

равна а диагональ боковой грани равна

Найдите угол между плоскостью

и плоскостью основания призмы.

Показать разбор

Обозначим середину ребра

(см. рисунок). Так как треугольник

равносторонний, а треугольник

– равнобедренный, отрезки

перпендикулярны

Следовательно,

– линейный угол двугранного угла с гранями

Из треугольника

найдем:

Из треугольника

найдем:

Из треугольника

найдем:

Искомый угол равен

Ответ:

Возможны другие решения. Например, решение задачи с использованием векторов или метода координат.

4. Задание#T25033

Найдите все значения параметра при каждом из которых система уравнений

имеет единственное решение.

Показать разбор

Пусть система имеет решение

Если

то система имеет второе решение

Значит, решение может быть единственным, только при

Подставим

в первое уравнение:

Пара

должна удовлетворять второму уравнению:

откуда

или

Для каждого из двух найденных значений параметра нужно проверить, действительно ли данная система имеет единственное решение.

Первый случай:

Система принимает вид

Графиком функции

является угол, который имеет с окружностью

три общие точки (см. рисунок).

Значит, при

система имеет три решения.

Второй случай.

Система принимает вид

Из первого уравнения следует, что при

а из второго уравнения при

получаем, что

Следовательно, при

система решений не имеет.

Значит, при

есть только одно решение

Ответ:

5. Задание#T19428

Решите уравнение

Показать разбор

1. Уравнение равносильно системе

Из неравенства получаем, что

В уравнении сделаем замену

и решим уравнение

или

Равенствам

на тригонометрической окружности соответствуют четыре точки (см. рисунок).

Две из них, находящиеся в верхней полуплоскости, не удовлетворяют условию

Получаем решения:

где

Ответ:

где

6. Задание#T19427

Найдите все такие пары взаимно простых натуральных чисел (то есть чисел, наибольший общий делитель которых равен ) и что если к десятичной записи числа приписать справа через запятую десятичную запись числа то получится десятичная запись числа, равного

Показать разбор

Пусть десятичная запись числа состоит из цифр. Тогда по условию задачи можно записать равенство

поэтому

Из этого уравнения следует, что

Так как числа и взаимно простые, числа

и тоже взаимно простые. (Действительно, пусть – общий простой делитель этих чисел. Тогда если делитель то будет делителем Если же – делитель то будет делителем значит, – делитель Противоречие.)

Поэтому

и, следовательно,

Последнее равенство при взаимно простых и возможно только в двух случаях:

но в этом случае не выполняется равенство

В этом случае равенство

принимает вид

откуда

Функция

возрастает, а функция

убывает. Поэтому уравнение

имеет не более одного корня, и так как

единственным корнем уравнения является

Ответ:

Возможны другие формы записи ответа. Например:

7. Задание#T19312

Билет на автобус стоит 15 рублей.

Какое максимальное число билетов можно будет купить на 100 рублей после повышения цены билета на 20%?

Показать ответ

Это задание решали 273 раза. С ним справились 38% пользователей.

8. Задание#T19311

На графике показано изменение температуры воздуха на протяжении трех суток. На оси абсцисс отмечается время суток в часах, на оси ординат – значение температуры в градусах.

Определите по графику наибольшую температуру воздуха 15 августа.

Показать ответ

Это задание решали 76 раз. С ним справились 58% пользователей.

9. Задание#T19310

Найдите корень уравнения

Показать ответ

Это задание решали 40 раз. С ним справились 95% пользователей.

10. Задание#T19309

треугольнике

угол равен

Найдите

Показать ответ

Это задание решали 37 раз. С ним справились 73% пользователей.

11. Задание#T19307

Строительная фирма планирует купить м пеноблоков у одного из трех поставщиков. Цены и условия доставки приведены в таблице.

Поставщик	Стоимость пеноблоков (руб. за м)	Стоимость доставки (руб. за весь заказ)	Дополнительные условия доставки

			При заказе товара на сумму свыше рублей доставка бесплатная.
			При заказе товара на сумму свыше рублей доставка бесплатная.