Задание 1. ЕГЭ-2012 - Архив: все задания

Ответом к заданию по математике может быть целое число, конечная десятичная дробь (записывайте её через запятую, вот так: 2,5) или последовательность цифр (пишите без пробелов: 97531).

Версия для печати

16. Задание#T25050

Найдите все значения при каждом из которых наименьшее значение функции

больше

Показать разбор

1. Функция имеет вид:

при а её график есть две части параболы с ветвями, направленными вверх, и осью симметрии
при а её график есть часть параболы с ветвями, направленными вниз.

Все возможные виды графика функции

показаны на рисунках:

2. Наименьшее значение функция

может принять только в точках

или

а если

– то в точке

3. Наименьшее значение функции больше тогда и только тогда, когда

Ответ:

17. Задание#T19434

Сторона основания правильной треугольной призмы

равна а диагональ боковой грани равна

Найдите угол между плоскостью

и плоскостью основания призмы.

Показать разбор

Обозначим середину ребра

(см. рисунок). Так как треугольник

равносторонний, а треугольник

– равнобедренный, отрезки

и

перпендикулярны

Следовательно,

– линейный угол двугранного угла с гранями

и

Из треугольника

найдём:

Из треугольника

найдём:

Из треугольника

найдём:

Искомый угол равен

Ответ:

Возможны другие формы записи ответа. Например:

рад.

Возможны другие решения. Например, с использованием векторов или метода координат.

18. Задание#T19433

На стороне

угла

равного

взята такая точка что

и

Найдите радиус окружности, проходящей через точки

и касающейся прямой

Показать разбор

Центр искомой окружности принадлежит серединному перпендикуляру к отрезку

Обозначим середину отрезка

– основание перпендикуляра, опущенного из точки на прямую

– точку пересечения серединного перпендикуляра с прямой

(см. рисунок а). Из условия касания окружности и прямой

следует, что отрезки

и

равны радиусу окружности.

Заметим, что точка не может лежать по ту же сторону от прямой

что и точка так как в этом случае расстояние от точки до прямой

меньше, чем расстояние от неё до точки

Из прямоугольного треугольника

с катетом

и

находим, что

Так как

и

получаем:

следовательно,

Из прямоугольного треугольника

в котором

находим:

В результате получаем уравнение:

Возведём в квадрат обе части этого уравнения и приведём подобные члены. Получим уравнение

решая которое находим два корня:

Если радиус равен то центром окружности является точка (см. рисунок б).

Ответ: или

Другое решение.

Пусть точка касания окружности с прямой

лежит на луче

(см. рисунок а). По теореме о касательной и секущей

откуда

Пусть – точка пересечения луча

и перпендикуляра к

проведённого через точку Из прямоугольного треугольника

находим:

тогда

и

Таким образом, точка удалена от точек

и на одно и то же расстояние, равное Следовательно, – центр искомой окружности, а её радиус равен

Пусть теперь точка касания окружности с прямой

лежит на продолжении

за точку (см. рисунок б), а прямая, проходящая через точку перпендикулярно

пересекает прямую

в точке а окружность вторично – в точке Тогда

Если – радиус окружности, то

По теореме о двух секущих

то есть

откуда находим, что

Ответ: или

Возможны другие формы записи ответа. Например:

радиус окружности равен или

19. Задание#T19432

На доске написано более но менее целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно

среднее арифметическое всех положительных из них равно а среднее арифметическое всех отрицательных из них равно

Сколько чисел написано на доске?
Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных?
Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них?

Показать разбор

Пусть среди написанных чисел положительных,

отрицательных и нулей. Сумма набора чисел равна количеству чисел в этом наборе, умноженному на его среднее арифметическое, поэтому

А. Заметим, что в левой части приведённого выше равенства каждое слагаемое делится на поэтому

— количество целых чисел — делится на По условию

поэтому

Таким образом, написано числа.

Б. Приведём равенство

к виду

Так как

получаем, что

откуда

Следовательно, отрицательных чисел больше, чем положительных.

В

Подставим

в правую часть равенства

откуда

Так как

получаем:

то есть положительных чисел не более

В

Приведём пример, когда положительных чисел ровно Пусть на доске раз написано число

раз написано число и два раза написан Тогда

указанный набор удовлетворяет всем условиям задачи.

Ответ:

;
отрицательных;

20. Задание#T19405

Решите уравнение
Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку

Показать разбор

А. Так как

то

Корни уравнения:

Б. Корни уравнения

изображаются точками и а корни уравнения

– точками и промежуток

изображается жирной дугой (см. рис.).

В указанном промежутке содержатся три корня уравнения:

и

Ответ:

Другие решения пункта Б.

Б. Корни, принадлежащие промежутку

отберем по графику

Прямая

(ось ) пересекает график в единственной точке

абсцисса которой принадлежит промежутку

Прямая

пересекает график ровно в двух точках, абсциссы которых принадлежат

(см. рис.).

Так как период функции

равен

то эти абсциссы равны, соответственно,

и

В промежутке

содержатся три корня:

Б. Пусть

Подставляя

получаем

Промежутку

принадлежит только

Пусть

Подставляя

получаем

Промежутку

принадлежат только

Промежутку

принадлежат корни

Б. Отберем корни, принадлежащие промежутку

Пусть

Тогда

Корень, принадлежащий промежутку

:

Пусть

Тогда

Корень, принадлежащий промежутку

:

Пусть

Тогда

Корень, принадлежащий промежутку

:

Промежутку

принадлежат корни

0 баллов сегодня

дней без пропуска

0

вс

0

пн

0

вт

0

ср

0

чт

0

пт

0

сб