Задание 1. ЕГЭ-2013 - Архив: все задания

Ответом к заданию по математике может быть целое число, конечная десятичная дробь (записывайте её через запятую, вот так: 2,5) или последовательность цифр (пишите без пробелов: 97531).

Версия для печати

16. Задание#T25064

Найдите все значения a , при каждом из которых наименьшее значение функции

больше

Показать разбор

1. Функция имеет вид:

при : а её график есть две части параболы с ветвями, направленными вверх, и осью симметрии
при : а её график есть часть параболы с ветвями, направленными вниз.

Все возможные виды графика функции

показаны на рисунках:

2. Наименьшее значение функция

может принять только в точках

или

а если

– то в точке

3. Наименьшее значение функции больше тогда и только тогда, когда

Ответ:

17. Задание#T19410

Строительная фирма планирует купить м пеноблоков у одного из трёх поставщиков. Цены и условия доставки приведены в таблице.

Поставщик	Стоимость пеноблоков (руб. за м)	Стоимость доставки (руб.)	Дополнительные условия доставки
А			Нет
Б			При заказе товара на сумму свыше рублей доставка бесплатная
В			При заказе товара на сумму свыше рублей доставка бесплатная

Сколько рублей нужно заплатить за самую дешёвую покупку с доставкой?

Показать ответ

Это задание решали 388 раз. С ним справились 27% пользователей.

18. Задание#T19409

Сторона основания правильной треугольной призмы

равна а диагональ боковой грани равна

Найдите угол между плоскостью

и плоскостью основания призмы.

Показать разбор

Обозначим середину ребра

(см. рисунок). Так как треугольник

равносторонний, а треугольник

– равнобедренный, отрезки

перпендикулярны

Следовательно,

– линейный угол двугранного угла с гранями

Из треугольника

найдём:

Из треугольника

найдём:

Из треугольника

найдём:

Искомый угол равен

Ответ:

Возможны другие формы записи ответа. Например:

рад.
и т.п.

Возможны другие решения. Например, с использованием векторов или метода координат.

19. Задание#T19408

Решите систему неравенств

Показать разбор

1. Неравенство

запишем в виде

Относительно

неравенство имеет вид:

откуда получаем:

Значит,

2. Второе неравенство системы определено при

то есть при

При допустимых значениях переменной получаем:

С учётом области допустимых значений переменной получаем решение второго неравенства системы:

3. Сравним

Так как

то

следовательно,

Решение системы неравенств:

Ответ:

Комментарий.

Если обоснованно получены оба ответа:

после чего лишь сказано, но никак не обосновано, что

то такое решение оценивается в балла.

Критерии оценивания:

Количество баллов, выставляемых за выполнение задания зависит от полноты решения и правильности ответа.

Общие требования к выполнению заданий с развёрнутым ответом: решение должно быть математически грамотным, полным, в частности, все возможные случаи должны быть рассмотрены. Методы решения, формы его записи и формы записи ответа могут быть разными. За решение, в котором обоснованно получен правильный ответ, выставляется максимальное число баллов. Правильный ответ при отсутствии текста решения оценивается в баллов.

Эксперты проверяют только математическое содержание представленного решения, а особенности записи не учитывают.

В критериях оценивания конкретных заданий содержатся общие требования к выставлению баллов.

При выполнении задания можно использовать без доказательства и ссылок любые математические факты, содержащиеся в учебниках и учебных пособиях, входящих в Федеральный перечень учебников, рекомендованных (допущенных) Министерством образования и науки Российской Федерации.

20. Задание#T19407

На стороне

угла

равного

взята такая точка что

Найдите радиус окружности, проходящей через точки

и касающейся прямой

Показать разбор

Решение.

Центр искомой окружности принадлежит серединному перпендикуляру к отрезку

Обозначим середину отрезка

– основание перпендикуляра, опущенного из точки на прямую

– точку пересечения серединного перпендикуляра с прямой

(см. рисунок а). Из условия касания окружности и прямой

следует, что отрезки

равны радиусу окружности.

Заметим, что точка не может лежать по ту же сторону от прямой

что и точка так как в этом случае расстояние от точки до прямой

меньше, чем расстояние от неё до точки

Из прямоугольного треугольника

с катетом

находим, что

Так как

получаем:

следовательно,

Из прямоугольного треугольника

в котором

находим:

В результате получаем уравнение:

Возведём в квадрат обе части этого уравнения и приведём подобные члены. Получим уравнение

решая которое находим два корня:

Если радиус равен то центром окружности является точка (см. рисунок б).

Ответ: или

Другое решение.

Пусть точка касания окружности с прямой

лежит на луче

(см. рисунок а). По теореме о касательной и секущей

откуда

Пусть – точка пересечения луча

и перпендикуляра к

проведённого через точку Из прямоугольного треугольника

находим:

тогда

Таким образом, точка удалена от точек

и на одно и то же расстояние, равное Следовательно, – центр искомой окружности, а её радиус равен

Пусть теперь точка касания окружности с прямой

лежит на продолжении

за точку (см. рисунок б), а прямая, проходящая через точку перпендикулярно

пересекает прямую

в точке а окружность вторично – в точке Тогда

Если – радиус окружности, то

По теореме о двух секущих

то есть

откуда находим, что

Ответ: или

Возможны другие формы записи ответа. Например:

радиус окружности равен или

21. Задание#T19406

На доске написано более но менее целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно

среднее арифметическое всех положительных из них равно а среднее арифметическое всех отрицательных из них равно

Сколько чисел написано на доске?
Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных?
Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них?

Показать разбор

Пусть среди написанных чисел положительных,

отрицательных и нулей. Сумма набора чисел равна количеству чисел в этом наборе, умноженному на его среднее арифметическое, поэтому

А. Заметим, что в левой части приведённого выше равенства каждое слагаемое делится на поэтому

— количество целых чисел — делится на По условию

поэтому

Таким образом, написано числа.

Б. Приведём равенство

к виду

Так как

получаем, что

откуда

Следовательно, отрицательных чисел больше, чем положительных.

Подставим

в правую часть равенства

откуда

Так как

получаем:

то есть положительных чисел не более

Приведём пример, когда положительных чисел ровно Пусть на доске раз написано число раз написано число и два раза написан Тогда

указанный набор удовлетворяет всем условиям задачи.

Ответ:

отрицательных;

0 баллов сегодня

дней без пропуска

вс

пн

вт

ср

чт

пт

сб