Задание 1. ЕГЭ-2016 - Архив: все задания

Ответом к заданию по математике может быть целое число, конечная десятичная дробь (записывайте её через запятую, вот так: 2,5) или последовательность цифр (пишите без пробелов: 97531).

Версия для печати

1. Задание#T25469

Все рёбра правильной треугольной призмы

имеют длину Точки и — середины рёбер

соответственно.

Докажите, что прямые и перпендикулярны.
Найдите угол между плоскостями и .

Показать разбор

А. Пусть точка — середина

Тогда

Вместе с тем,

тогда по теореме, обратной теореме Пифагора, треугольник

является прямоугольным с прямым углом

Б. Проведём перпендикуляр

к прямой

Тогда

. Следовательно,

Поэтому

— проекция

на плоскость

Прямая

перпендикулярна

тогда по теореме о трёх перпендикулярах

Следовательно, угол

— линейный угол искомого угла.

Длина

равна половине высоты треугольника

то есть

Поэтому

Следовательно,

Ответ: Б.

Критерии оценивания заданий

Количество баллов, выставленных за выполнение заданий, зависит от полноты решения и правильности ответа.

Общие требования к выполнению заданий с развёрнутым ответом: решение должно быть математически грамотным, полным, все возможные случаи должны быть рассмотрены. Методы решения, формы его записи и формы записи ответа могут быть разными. За решение, в котором обоснованно получен правильный ответ, выставляется максимальное количество баллов. Правильный ответ при отсутствии текста решения оценивается в 0 баллов.

Эксперты проверяют только математическое содержание представленного решения, а особенности записи не учитывают.

При выполнении задания могут использоваться без доказательства и ссылок любые математические факты, содержащиеся в учебниках и учебных пособиях, входящих в Федеральный перечень учебников, рекомендуемых к использованию при реализации имеющих государственную аккредитацию образовательных программ среднего общего образования.

Порядок назначения третьего эксперта

В соответствии с Порядком проведения государственной итоговой аттестации по образовательным программам среднего общего образования (приказ Минобрнауки России от

зарегистрирован Минюстом России

)

« По результатам первой и второй проверок эксперты независимо друг от друга выставляют баллы за каждый ответ на задания экзаменационной работы ЕГЭ с развёрнутым ответом...

В случае существенного расхождения в баллах, выставленных двумя экспертами, назначается третья проверка. Существенное расхождение в баллах определено в критериях оценивания по соответствующему учебному предмету.

Эксперту, осуществляющему третью проверку, предоставляется информация о баллах, выставленных экспертами, ранее проверявшими экзаменационную работу».

1. Работа участника ЕГЭ направляется на третью проверку, если расхождение в баллах, выставленных двумя экспертами за выполнение любого из заданий, составляет и более балла.

В этом случае третий эксперт проверяет только ответ на то задание, которое было оценено двумя экспертами со столь существенным расхождением.

2. Работа участника ЕГЭ направляется на третью проверку при наличии расхождений хотя бы в двух из заданий.

В этом случае третий эксперт перепроверяет ответы на все задания работы.

2. Задание#T25276

Решите неравенство

Показать разбор

Левая часть неравенства определена при

При

получаем

поэтому

левая часть неравенства отрицательна и не превосходит

При

получаем

поэтому

левая часть неравенства отрицательна и не превосходит

Таким образом, решение исходного неравенства

Ответ:

Порядок назначения третьего эксперта

зарегистрирован Минюстом России

)

«61. По результатам первой и второй проверок эксперты независимо друг от друга выставляют баллы за каждый ответ на задания экзаменационной работы ЕГЭ с развёрнутым ответом...

62. В случае существенного расхождения в баллах, выставленных двумя экспертами, назначается третья проверка. Существенное расхождение в баллах определено в критериях оценивания по соответствующему учебному предмету.

1. Работа участника ЕГЭ направляется на третью проверку, если расхождение в баллах, выставленных двумя экспертами за выполнение любого из заданий, составляет 2 и более балла.

2. Работа участника ЕГЭ направляется на третью проверку при наличии расхождений хотя бы в двух из заданий.

В этом случае третий эксперт перепроверяет ответы на все задания работы.

3. Задание#T25274

декабря

г. Сергей взял в банке

рублей в кредит под

годовых. Схема выплаты кредита следующая: декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на

), затем Сергей переводит в банк определённую сумму ежегодного платежа.

Какова должна быть сумма ежегодного платежа, чтобы Сергей выплатил долг тремя равными ежегодными платежами?

Показать разбор

Пусть сумма кредита равна ежегодный платеж равен рублей, а годовые составляют

Тогда декабря каждого года оставшаяся сумма долга умножается на коэффициент

После первой выплаты сумма долга составит:

После второй выплаты сумма долга составит:

После третьей выплаты сумма оставшегося долга составит:

По условию тремя выплатами Сергей должен погасить кредит полностью,

поэтому

откуда

При

получаем:

(рублей).

Ответ:

рублей

Порядок назначения третьего эксперта

зарегистрирован Минюстом России

)

2. Работа участника ЕГЭ направляется на третью проверку при наличии расхождений хотя бы в двух из заданий.

В этом случае третий эксперт перепроверяет ответы на все задания работы.

4. Задание#T25273

На доске написано более но менее целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно

среднее арифметическое всех положительных из них равно а среднее арифметическое всех отрицательных из них равно

Сколько чисел написано на доске?
Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных?
Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них?

Показать разбор

Пусть среди написанных чисел положительных,

отрицательных и нулей. Сумма набора чисел равна количеству чисел в этом наборе, умноженному на его среднее арифметическое, поэтому

A. Заметим, что в левой части приведённого выше равенства каждое слагаемое делится на поэтому

— количество целых чисел — делится на По условию

поэтому

Таким образом, написано числа.

Б. Приведём равенство

к виду

Так как

получаем, что

откуда

Следовательно, отрицательных чисел больше, чем положительных.

В. Подставим

в правую часть равенства

откуда

Так как

получаем:

то есть положительных чисел не более

Приведём пример, когда положительных чисел ровно Пусть на доске раз написано число

раз написано число и раза написан Тогда

указанный набор удовлетворяет всем условиям задачи.

Ответ:

44;
отрицательных;
17.

Порядок назначения третьего эксперта

зарегистрирован Минюстом России

)

2. Работа участника ЕГЭ направляется на третью проверку при наличии расхождений хотя бы в двух из заданий.

В этом случае третий эксперт перепроверяет ответы на все задания работы.

5. Задание#T25111

На рисунке изображён график дифференцируемой функции

На оси абсцисс отмечены девять точек:

Найдите все отмеченные точки, в которых производная функции

отрицательна.

В ответе укажите количество этих точек.

Показать ответ

Это задание решали 46 раз. С ним справились 43% пользователей.

6. Задание#T25110

Локатор батискафа, равномерно погружающегося вертикально вниз, испускает ультразвуковой сигнал частотой

МГц. Приёмник регистрирует частоту сигнала, отражённого от дна океана. Скорость погружения батискафа (в м/с) и частоты связаны соотношением

где

м/с — скорость звука в воде; — частота испускаемого сигнала (в МГц); — частота отражённого сигнала (в МГц).

Найдите частоту отражённого сигнала (в МГц), если батискаф погружается со скоростью м/с.

Показать ответ

Это задание решали 17 раз. С ним справились 82% пользователей.

7. Задание#T25109

Найдите точку максимума функции

Показать ответ

Это задание решали 17 раз. С ним справились 76% пользователей.

8. Задание#T25108

Две окружности касаются внешним образом в точке Прямая

касается первой окружности в точке а второй — в точке Прямая

пересекает первую окружность в точке прямая

пересекает вторую окружность в точке .

Докажите, что прямые и параллельны.
Найдите площадь треугольника если известно, что радиусы окружностей равны и

Показать разбор

А. Обозначим центры окружностей и соответственно.

Пусть общая касательная, проведённая к окружностям в точке пересекает

в точке

По свойству касательных, проведённых из одной точки,

Треугольник

у которого медиана равна половине стороны, к которой она проведена, прямоугольный.

Вписанный угол

прямой, поэтому он опирается на диаметр

Значит,

Аналогично, получаем, что

Следовательно, прямые

параллельны.

Б. Пусть, для определённости, первая окружность имеет радиус а вторая — радиус

Треугольники

подобны,

Пусть,

тогда

У треугольников

общая высота, следовательно,

то есть

Аналогично,

Площадь трапеции

равна

Вычислим площадь трапеции

Проведём к

перпендикуляр

равный высоте трапеции, и найдём его из прямоугольного треугольника

Тогда

Следовательно,

откуда

Ответ:

Порядок назначения третьего эксперта

зарегистрирован Минюстом России

)

2. Работа участника ЕГЭ направляется на третью проверку при наличии расхождений хотя бы в двух из заданий.

В этом случае третий эксперт перепроверяет ответы на все задания работы.

9. Задание#T19419

Решите уравнение
Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку

Показать разбор

А. Преобразуем обе части уравнения:

откуда

или

Из уравнения

находим:

где

Из уравнения

находим:

где

Б. С помощью числовой окружности отберём корни уравнения, принадлежащие промежутку

Получаем числа:

Ответ:

Порядок назначения третьего эксперта

В соответствии с Порядком проведения государственной итоговой аттестации по образовательным программам основного общего образования (приказ Минпросвещения России и Рособрнадзора от

зарегистрирован Минюстом России

)

Работа участника ЕГЭ направляется на третью проверку, если расхождение в баллах, составляет и более балла.

В этом случае третий эксперт проверяет только то задание, которое было оценено двумя экспертами со столь существенным расхождением.

10. Задание#T19418

Найдите все положительные значения при каждом из которых система

имеет единственное решение.

Показать разбор

Если

то уравнение

задаёт окружность с центром в точке

радиусом а если

то оно задаёт окружность с центром в точке

таким же радиусом (см. рисунок).

При положительных значениях уравнение

задаёт окружность с центром в точке

радиусом Поэтому задача состоит в том, чтобы найти все значения при каждом из которых окружность имеет единственную общую точку с объединением окружностей и .

Из точки проведём луч

и обозначим через и точки его пересечения с окружностью

где лежит между и

Так как

то

При

или

окружности и не пересекаются.

При

окружности и имеют две общие точки.

При

или

окружности и касаются.

Из точки проведём луч

и обозначим через и точки его пересечения с окружностью

где лежит между и

Так как

то

При

или

окружности и не пересекаются.

При

окружности и имеют две общие точки.

При

или

окружности и касаются.

Исходная система имеет единственное решение тогда и только тогда, когда окружность касается ровно одной из двух окружностей и и не пересекается с другой. Так как

то условию задачи удовлетворяют только числа

Ответ:

Критерии оценивания задания

Количество баллов, выставленных за выполнение задания, зависит от полноты решения и правильности ответа.

Порядок назначения третьего эксперта

зарегистрирован Минюстом России

)

1. Работа участника ЕГЭ направляется на третью проверку, если расхождение в баллах, составляет и более балла.

2. Работа участника ЕГЭ направляется на третью проверку при наличии расхождений хотя бы в двух из заданий.

В этом случае третий эксперт перепроверяет ответы на все задания работы.

11. Задание#T19398

Поезд отправился из Санкт-Петербурга в 23 часа 50 минут (время московское) и прибыл в Москву в 7 часов 50 минут следующих суток.

Сколько часов поезд находился в пути?

Показать ответ

Это задание решали 52 раза. С ним справились 79% пользователей.

12. Задание#T19397

На рисунке точками показана средняя температура воздуха в Сочи за каждый месяц 1920 г. По горизонтали указаны номера месяцев; по вертикали — температура в градусах Цельсия. Для наглядности точки соединены линией.

Сколько месяцев средняя температура была больше 18 градусов Цельсия?

Показать ответ

Это задание решали 44 раза. С ним справились 77% пользователей.

13. Задание#T19396

На клетчатой бумаге с размером клетки см см изображён треугольник.

Найдите его площадь.

Ответ дайте в см

Показать ответ

Это задание решали 62 раза. С ним справились 63% пользователей.

14. Задание#T19395

В сборнике билетов по биологии всего 25 билетов. Только в двух билетах встречается вопрос о грибах. На экзамене школьнику достаётся один случайно выбранный билет из этого сборника.

Найдите вероятность того, что в этом билете будет вопрос о грибах.

Показать ответ

Это задание решали 62 раза. С ним справились 71% пользователей.

15. Задание#T19394

Найдите корень уравнения

Показать ответ

Это задание решали 44 раза. С ним справились 95% пользователей.

0 баллов сегодня

дней без пропуска

вс

пн

вт

ср

чт

пт

сб