Задание 12. Наибольшее и наименьшее значение функций: производная сложной функции

Ответом к заданию по математике может быть целое число, конечная десятичная дробь (записывайте её через запятую, вот так: 2,5) или последовательность цифр (пишите без пробелов: 97531).

Версия для печати

1. Задание#T4198

Найдите точку максимума функции

Показать разбор и ответ

Используя свойство логарифмов, запишем функцию

следующим образом, удобным для дальнейшего дифференцирования:

Найдём производную

. По формуле производной суммы имеем:

Вынося константы за знак производной, получим:

Согласно таблице производных стандартных функций, производная константы равна нулю, а производная равна единице:

Также по таблице производных стандартных функций

и по формуле производной сложной функции получим, что

, откуда

Воспользуемся необходимым условием существования экстремума, приравнивая нулю

Перенесём в правую часть уравнения слагаемое . Полагая

, умножим обе части данного уравнения на

Решая линейное уравнение, получим:

Убедимся, что найденная точка

является точкой максимума. Для этого воспользуемся достаточным условием существования экстремума:

- для

получим

- для

получим

Так как производная

сменила знак с плюса на минус, найденная точка

является искомой точкой максимума.

Ответ: -5

Это задание подготовила команда Яндекс.Репетитора

Это задание решали 2 тыс. раз. С ним справились 32% пользователей.

2. Задание#T1581

Найдите точку максимума функции

Показать разбор и ответ

В этой задаче функция

является степенной функцией с дробным положительным показателем степени. Значит, область определения этой функции образует замкнутый промежуток

У области определения имеется одна точка на ее границе —

, а остальные точки у нее внутренние. Точки максимума являются либо стационарными точками открытого промежутка

, либо это точка границы

Найдем стационарные точки внутри промежутка. Вычисляем производную:

. Находим корни производной, решаем уравнение

. Внутри промежутка

находится одна стационарная точка

Отметим, что производная в этой точке меняет знак с плюса на минус. На промежутке

функция возрастает, а далее — убывает. Значит,

— точка максимума функции.

Ответ: 9

Это задание составили эксперты GetAClass специально для Яндекса

Это задание решали 2 тыс. раз. С ним справились 49% пользователей.

3. Задание#T1316

Найдите точку максимума функции

Показать разбор и ответ

Исследуем данную функцию на экстремум.

Найдем критические точки функции.

При

не подходит, т.к.

не меньше нуля.

Следовательно,

— единственная критическая точка.

Определим знаки производной функции на заданном отрезке и изобразим на рисунке поведение функции:

Точка

— единственная точка максимума.

Ответ: -5

Это задание взято из демовариантов ФИПИ 2018-2020

Это задание решали 8 тыс. раз. С ним справились 43% пользователей.

4. Задание#T1258

Найдите наибольшее значение функции

на отрезке

Показать разбор и ответ

Это задание составили эксперты УЦ Годограф специально для Яндекса

Это задание решали 7 тыс. раз. С ним справились 30% пользователей.

5. Задание#T528

Найдите точку максимума функции

Показать разбор и ответ

Запишем данную функцию в виде, удобном для дифференцирования:

и найдем ее точки экстремума.

Найдем стационарные точки (то есть точки, в которых производная равна нулю):

Определим знаки производной функции на заданном отрезке и изобразим на рисунке поведение функции:

Найденная точка

– единственная точка максимума.

Ответ: 121

Это задание составили эксперты «СтатГрада» для Яндекса

Это задание решали 4 тыс. раз. С ним справились 54% пользователей.

6. Задание#T516

Найдите точку максимума функции

Показать разбор и ответ

Запишем данную функцию в виде, удобном для дифференцирования:

и найдем ее точки экстремума.

Найдем стационарные точки (то есть точки, в которых производная равна нулю):

Определим знаки производной функции на заданном отрезке и изобразим на рисунке поведение функции:

Найденная точка

– единственная точка максимума.

Ответ: 64

Это задание составили эксперты «СтатГрада» для Яндекса

Это задание решали 5 тыс. раз. С ним справились 51% пользователей.

7. Задание#T356

Найдите точку максимума функции

Показать разбор и ответ

— возрастающая функция (чем больше подкоренное выражение, тем больше сам корень), поэтому достаточно найти точку максимума квадратичной функции

Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вниз, значит, точкой максимума будет являться абсцисса вершины параболы.

Следовательно,

Ответ: 10

Это задание составили эксперты «СтатГрада» для Яндекса

Это задание решали 6 тыс. раз. С ним справились 58% пользователей.

8. Задание#T344

Найдите аргумент в точке максимума функции

Показать разбор и ответ

– возрастающая функция (то есть с увеличением подкоренного выражения увеличивается и значение самого корня), поэтому достаточно найти точку максимума квадратичной функции

Следовательно,

Ответ: -9

Это задание составили эксперты «СтатГрада» для Яндекса

Это задание решали 8 тыс. раз. С ним справились 42% пользователей.

0 баллов сегодня

дней без пропуска

сб

вс

пн

вт

ср

чт

пт