Найдите все положительные значения a, при каждом из которых система {(|x| - 5)^2 + (y - 4)^2 = 9,(x + 2)^2 + y^2 = a^2 имеет единственное решение. | Яндекс.Репетитор

Задание#T9252

Найдите все положительные значения при каждом из которых система

имеет единственное решение.

Показать разбор

Если

, то уравнение

задаёт окружность с центром в точке

радиусом а если

то оно задаёт окружность с центром в точке

таким же радиусом (см. рисунок).

При положительных значениях уравнение

задаёт окружность с центром в точке

радиусом Поэтому задача состоит в том, чтобы найти все значения при каждом из которых окружность имеет единственную общую точку с объединением окружностей и

Из точки проведём луч

и обозначим через и точки его пересечения с окружностью , где лежит между и

Так как

то

При

или

окружности и не пересекаются.

При

окружности и имеют две общие точки.

При

или

окружности и касаются.

Из точки проведём луч

и обозначим через и точки его пересечения с окружностью

где лежит между и

Так как

то

При

или

окружности и не пересекаются.

При

окружности и имеют две общие точки.

При

или

окружности и касаются.

Исходная система имеет единственное решение тогда и только тогда, когда окружность касается ровно одной из двух окружностей и и не пересекается с другой. Так как

то условию задачи удовлетворяют только числа

Ответ:

Критерии оценки

4 баллаОбоснованно получен верный ответ

3 баллаС помощью верного рассуждения получены оба верных значения параметра, но
– или в ответ включены также и одно-два неверных значения;
– или решение недостаточно обосновано

2 баллаС помощью верного рассуждения получено хотя бы одно верное значение параметра

1 баллЗадача сведена к исследованию:
– или взаимного расположения трёх окружностей;
– или двух квадратных уравнений с параметром

0 балловРешение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

Это задание взято из демовариантов ФИПИ 2018-2020

Это задание решали 45 тыс. раз. С ним справились 5% пользователей.

Это задание в разделах:

Задача с параметром

Это задание в тестах:

Тренировочный вариант ЕГЭ по математике профильного уровня № 37

Задание#T9252

Это задание в разделах:

Это задание в тестах:

Рекомендованные задания