Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений {3 * 2^|y| + 5|y| + 3x + 4 = 5y^2 + 3a,x^2 + y^2 = 1 имеет единственное решение. | Яндекс.Репетитор | ЕГЭ-2020 по профильной математике

Версия для печати

Задание#T30267

Найдите все значения при каждом из которых система уравнений

имеет единственное решение.

Показать разбор

Заметим, что если

— решение системы, то и

— решение системы. Следовательно, для единственности решения необходимо, чтобы выполнялось условие

то есть

При

система примет вид

Если

то

если

то

Итак, допустимыми значениями параметра являются лишь значения

и

Пусть

Тогда данная система примет вид

Понятно, что стандартные методы решения здесь опять не работают. Попытаемся оценить левую и правую части первого уравнения полученной системы с учётом её второго уравнения. Поскольку

имеем

а

Из второго уравнения полученной системы следует, что

Тогда

Таким образом,

Следовательно,

причём знак равенства возможен только в случае, когда

и

Получаем систему

откуда

Значит, при

данная система имеет единственное решение

Пусть теперь

Тогда данная система примет вид

Здесь провести оценку аналогично тому, как это было сделано для случая

уже не получится. Попробуем доказать, что последняя система имеет более одного решения. Для этого достаточно эти решения указать, найдя их, например, подбором. Одно из решений получить довольно просто, для него, как известно,

Из первого уравнения получим, что в этом случае

но тогда и второе уравнение обращается в верное равенство, то есть

— решение системы. Остаётся заметить, что и пара чисел

является её решением. Таким образом, при

система имеет более одного решения.

Ответ:

Это задание составили эксперты МЦНМО

Это задание в разделах:

Задача с параметром

Рекомендованные задания

Для составления персональной подборки решено недостаточно заданий.

Повышайте свой балл на экзамене!

Решать задания

0 баллов сегодня

дней без пропуска

0

сб

0

вс

0

пн

0

вт

0

ср

0

чт

0

пт