Один из двух отрезков, соединяющих середины противоположных сторон четырёхугольника, делит его площадь пополам, а другой — в отношении 11:17. Докажите, что данный четырёхугольник — трапеция.... | Яндекс.Репетитор | ЕГЭ-2020 по профильной математике

Версия для печати

Задание#T29219

Один из двух отрезков, соединяющих середины противоположных сторон четырёхугольника, делит его площадь пополам, а другой — в отношении

Докажите, что данный четырёхугольник — трапеция.
Найдите отношение оснований этой трапеции.

Показать разбор

А. Пусть и — середины сторон соответственно

и

четырёхугольника

причём отрезок

делит площадь четырёхугольника пополам. Отрезок

— медиана треугольника

поэтому

Тогда

Треугольники

и

с равными сторонами

и

равновелики, значит, их высоты

и

опущенные на эти стороны, равны. Следовательно,

т. е. четырёхугольник

— трапеция или параллелограмм.

Пусть и — середины сторон

и

соответственно. Предположим, что

Тогда отрезок

разбивает параллелограмм на две равновеликие части, что противоречит условию задачи. Таким образом, четырёхугольник

— трапеция с основаниями

и

Б. Пусть высота трапеции равна

Тогда

так как

— средняя линия трапеции. Поэтому

а так как

то

Отсюда находим, что

Ответ:

Это задание составили эксперты МЦНМО

Это задание в разделах:

Планиметрическая задача

Рекомендованные задания

Для составления персональной подборки решено недостаточно заданий.

Повышайте свой балл на экзамене!

Решать задания

0 баллов сегодня

дней без пропуска

0

сб

0

вс

0

пн

0

вт

0

ср

0

чт

0

пт