Окружность с центром O_1 касается оснований BC и AD и боковой стороны AB трапеции ABCD. Окружность с центром O_2 касается сторон BC, CD и AD. Известно, что AB = 10, BC = 9, CD = 30, AD = 39.... | Яндекс.Репетитор | ЕГЭ-2020 по профильной математике

Версия для печати

Задание#T29211

Окружность с центром касается оснований

и

и боковой стороны

трапеции

Окружность с центром касается сторон

и

Известно, что

Докажите, что прямая параллельна основаниям трапеции
Найдите

Показать разбор

А. Пусть окружности с центрами и касаются прямой

в точках и соответственно, а прямой

— в точках и соответственно. Тогда точки и — середины противоположных сторон

и

прямоугольника

Значит,

Следовательно,

Б. Центр окружности, вписанной в угол, лежит на его биссектрисе, поэтому

и

— биссектрисы углов при боковой стороне

трапеции

Пусть прямая

пересекает основание

в точке Тогда

поэтому треугольник

равнобедренный,

Значит, его биссектриса

является высотой и медианой. При этом

значит,

— параллелограмм, поэтому

и

Пусть — точка касания с боковой стороной

окружности с центром

Тогда

— высота прямоугольного треугольника

проведённая из вершины прямого угла. В этом треугольнике известно, что

и

Значит,

Пусть радиус окружностей равен Тогда

Пусть — точка касания первой окружности со стороной

Обозначим

Тогда

Угол

острый, так как он равен углу

при основании равнобедренного треугольника, поэтому

т. е.

Радиус

— высота прямоугольного треугольника

проведённая из вершины прямого угла. Значит,

или

Из этого уравнения и условия

находим, что

Следовательно,

Ответ:

Это задание составили эксперты МЦНМО

Это задание решали 19 раз. С ним справились 63% пользователей.

Это задание в разделах:

Планиметрическая задача

Рекомендованные задания

Для составления персональной подборки решено недостаточно заданий.

Повышайте свой балл на экзамене!

Решать задания

0 баллов сегодня

дней без пропуска

0

пт

0

сб

0

вс

0

пн

0

вт

0

ср

0

чт