Решение/комментарий:
[1Так начался изнурительный кошмар этих двух
недель], (2в продолжение которых(=недель) он пытался заставить себя
решиться на проверку, (3что ему давалось с огромным трудом), и уговорить
докторов), (4что здоров и ни в какой проверке не нуждается).
На месте цифры 1 ставится запятая, потому что она отделяет главное
предложение от придаточной части в продолжение которых он пытался
заставить себя решиться на проверку… и одновременно уговорить
докторов.
На месте цифр 2 и 3 запятые не ставятся, так как союзное слово которых
оттянуто в середину придаточной части (отсутствие запятых легко
обосновать, если заменить местоимение которых на соответствующее ему
имя существительное из главной части предложения: недель).
Запятые на месте цифр 4, 5 ставятся, поскольку они выделяют новое
придаточное предложение что ему давалось с огромным трудом.
Запятая на месте цифры 6 ставится, поскольку она выделяет ещё одно
придаточное предложение что здоров и ни в какой проверке не нуждается.
Указание:
Пунктуация в сложноподчинённом предложении.