Содержание верного ответа
(допускаются иные формулировки ответа, не искажающие его смысла)
1. А. Петя может выиграть первым ходом, если Во всех случаях нужно удвоить количество камней в куче. При меньших значениях за один ход нельзя получить кучу, в которой больше камня. Б. Ваня может выиграть первым ходом (как бы ни играл Петя), если исходно в куче будет камней. Тогда после первого хода Пети в куче будет камней или камней. В обоих случаях Ваня удваивает количество камней и выигрывает своим первым ходом. 2. Возможные значения : и В этих случаях Петя, очевидно, не
может выиграть первым ходом. Однако он может получить кучу из
камней. Эта позиция разобрана в п. 1Б. В ней игрок, который будет
ходить (теперь это Ваня), выиграть не может, а его противник (то есть, Петя) следующим ходом выиграет. 3. Возможное значение : После первого хода Пети в куче будет или
камней. Если в куче станет камней, Ваня удвоит количество камней
и выиграет первым ходом. Ситуация, когда в куче камней, разобрана в п. 2.
В этой ситуации игрок, который будет ходить (теперь это Ваня), выигрывает своим вторым ходом. В таблице изображено дерево возможных партий при описанной стратегии
Вани. Заключительные позиции (в них выигрывает Ваня) подчеркнуты. На
рисунке это же дерево изображено в графическом виде (оба способа
изображения дерева допустимы).
Рис.1. Дерево всех партий, возможных при Ваниной стратегии. Знаком
>> обозначены позиции, в которых партия заканчивается.
Указания по оцениванию
В задаче от ученика требуется выполнить задания. Их трудность возрастает. Количество баллов в целом соответствует количеству выполненных заданий (подробнее см. ниже).
Ошибка в решении, не искажающая основного замысла, например, арифметическая ошибка при вычислении количества камней в заключительной позиции, при оценке решения не учитывается.
Первое задание считается выполненным полностью, если выполнены полностью оба пункта А и Б. Пункт А считается выполненным полностью, если правильно указаны все позиции, в которых Петя выигрывает первым ходом и указано, каким должен быть первый ход. Пункт Б считается выполненным полностью, если правильно указана позиция, в которой Ваня выигрывает первым ходом и описана стратегия Вани, т.е. показано, как Ваня может получить кучу, в которой содержится нужное количество камней при любом ходе Пети.
Первое задание считается выполненным частично, если выполнены все следующие условия:
- правильно указаны все позиции, в которых Петя выигрывает первым ходом,
- правильно указана позиция, в которой Ваня выигрывает первым ходом, и явно сказано, что при любом ходе Пети Ваня может получить кучу, которая содержит нужное для выигрыша количество камней.
Отличие от полного решения в том, что выигрышные ходы не указаны.
Второе задание выполнено, если правильно указаны обе позиции, выигрышные для Пети, и описаны соответствующие стратегии Пети – так, как это написано в примере решения, или другим способом, например, с помощью дерева всех партий, возможных при выбранных стратегиях.
Третье задание выполнено, если правильно указана позиция, выигрышная для Вани, и построено дерево всех партий, возможных при Ваниной стратегии. Должно быть явно сказано, что в этом дереве в каждой позиции, где должен ходить Петя, разобраны все возможные ходы, а для позиций, где должен
ходить Ваня, – только ход, соответствующий стратегии, которую выбрал Ваня.
Во всех случаях стратегии могут быть описаны так, как это сделано в примере решения или другим способом.