ЧТО БЫ мне надеть, ЧТОБЫ не замёрзнуть? – В первом случае местоимение с частицей БЫ, во втором – союз.
ВОЗМОЖНО ЛИ – частица ЛИ пишется раздельно; ПОВСЮДУ – наречие.
Это письмо затерялось, ПОТОМУ что оно ТАК ЖЕ, как и другая корреспонденция, было отправлено по старому адресу. – Союз ПОТОМУ ЧТО, наречие ТАК с частицей ЖЕ.
ДОПОЗДНА, ДОВЕРХУ – наречия.
ПОД ВЕЧЕР – существительное с предлогом, ПОЛЧАСА – сложное слово.