Задание#T19435
Отрезок 
– диаметр сферы. Точки 
лежат на сфере так, что объем пирамиды 
наибольший.
– диаметр сферы. Точки лежат на сфере так, что объем пирамиды наибольший. Найдите синус угла между прямой 
и плоскостью 
если 
– середина ребра 
и плоскостью если – середина ребра Показать разбор
1. Пусть 
– центр сферы, а 
– ее радиус. Тогда 
как диаметр сферы. Поскольку точки 
и 
лежат на сфере, то 
Сечения сферы плоскостями 
и 
– окружности радиуса 
описанные вокруг треугольников и причем 
как вписанные углы, опирающиеся на диаметр 
– центр сферы, а – ее радиус. Тогда как диаметр сферы. Поскольку точки и лежат на сфере, то Сечения сферы плоскостями и – окружности радиуса описанные вокруг треугольников и причем как вписанные углы, опирающиеся на диаметр 
2. Пусть 
– высота пирамиды 
опущенная из вершины 
и 
– высота треугольника 
проведенная к стороне Поскольку точка лежит на сфере, а плоскость содержит центр сферы, то 
причем 
если 
Аналогично, поскольку точка лежит на сфере, то 
причем 
если 
Отсюда для объема пирамиды имеем
– высота пирамиды опущенная из вершины и – высота треугольника проведенная к стороне Поскольку точка лежит на сфере, а плоскость содержит центр сферы, то причем если Аналогично, поскольку точка лежит на сфере, то причем если Отсюда для объема пирамиды имеем
При этом 
только если 
Таким образом, пирамида имеет наибольший объем, если треугольники и – прямоугольные и равнобедренные, лежащие во взаимно перпендикулярных плоскостях.
только если Таким образом, пирамида имеет наибольший объем, если треугольники и – прямоугольные и равнобедренные, лежащие во взаимно перпендикулярных плоскостях.3. Поскольку 
то 
Но 
и поэтому по признаку перпендикулярности прямой и плоскости 
Пусть 
– середина 
Проведем 
– среднюю линию треугольника 
Тогда 
Значит, 
и поэтому 
– проекция на плоскость и 
– угол между прямой и плоскостью 
Пусть 
то Но и поэтому по признаку перпендикулярности прямой и плоскости Пусть – середина Проведем – среднюю линию треугольника Тогда Значит, и поэтому – проекция на плоскость и – угол между прямой и плоскостью Пусть 4. По свойству средней линии 
Так как треугольники 
равны по двум катетам, то треугольник 
– правильный со стороной 
– высота треугольника 
значит, 
Отсюда 
Так как треугольники равны по двум катетам, то треугольник – правильный со стороной – высота треугольника значит, Отсюда Ответ:
Примечание. Неточностью в обоснованиях является замена свойства на определение или на признак, или наоборот, а также неверные названия теорем или формул.
Критерии оценки
4 баллаПриведена верная последовательность шагов решения:
1. установлено, что треугольники и – прямоугольные;
2. установлено, что в пирамиде
имеющей наибольший объем и вписанной в данную сферу, треугольники и – равнобедренные, лежащие во взаимно перпендикулярных плоскостях;
3. построен угол между прямой и плоскостью 
4. вычислен синус угла между прямой и плоскостью
Обоснованы ключевые моменты решения:
А. вид пирамиды, имеющей наибольший объем, вписанной в данную сферу;
Б. построение угла между прямой и плоскостью
Все преобразования и вычисления выполнены верно. Получен верный ответ.
1. установлено, что треугольники
и – прямоугольные;2. установлено, что в пирамиде
имеющей наибольший объем и вписанной в данную сферу, треугольники и – равнобедренные, лежащие во взаимно перпендикулярных плоскостях;3. построен угол между прямой
и плоскостью 4. вычислен синус угла между прямой
и плоскостью Обоснованы ключевые моменты решения:
А. вид пирамиды, имеющей наибольший объем, вписанной в данную сферу;
Б. построение угла между прямой
и плоскостью Все преобразования и вычисления выполнены верно. Получен верный ответ.
3 баллаПриведены все шаги решения 1–4.
Приведены утверждения, составляющие ключевые моменты А и Б решения: явно описан вид искомой пирамиды и построен искомый угол. Допустимо отсутствие обоснований ключевых моментов решения или неточности в обоснованиях, но не грубые ошибки.
Допустимы одна описка и/или негрубая ошибка в вычислениях, не влияющие на правильность хода решения. В результате этой описки и/или ошибки возможен неверный ответ.
Приведены утверждения, составляющие ключевые моменты А и Б решения: явно описан вид искомой пирамиды и построен искомый угол. Допустимо отсутствие обоснований ключевых моментов решения или неточности в обоснованиях, но не грубые ошибки.
Допустимы одна описка и/или негрубая ошибка в вычислениях, не влияющие на правильность хода решения. В результате этой описки и/или ошибки возможен неверный ответ.
2 баллаПриведены шаги решения 2–4.
Допустимо отсутствие утверждений, составляющих ключевые моменты А и Б решения.
Приведенные в решении обоснования не содержат грубых ошибок.
Получена искомая величина синуса угла между прямой и плоскостью
Допустимы описки и/или негрубые ошибки в вычислениях, не влияющие на правильность хода решения. В результате этого возможен неверный ответ.
Допустимо отсутствие утверждений, составляющих ключевые моменты А и Б решения.
Приведенные в решении обоснования не содержат грубых ошибок.
Получена искомая величина синуса угла между прямой
и плоскостью Допустимы описки и/или негрубые ошибки в вычислениях, не влияющие на правильность хода решения. В результате этого возможен неверный ответ.
1 баллХод решения правильный, но решение не завершено: имеется шаг 2 решения, который описан словесно или ясно отражен и виден на чертеже (в соответствующих треугольниках обозначены углы, равные 
и равные стороны).
Приведенные в решении обоснования и вычисления не содержат грубых ошибок.
и равные стороны).Приведенные в решении обоснования и вычисления не содержат грубых ошибок.
1 баллВсе случаи решения, которые не соответствуют вышеуказанным
критериям выставления оценок 
баллов.
баллов.Это задание в разделах:
Рекомендованные задания
Для составления персональной подборки решено недостаточно заданий.
Повышайте свой балл на экзамене!
0 баллов сегодня
дней без пропуска
0
0
0
0
0
0
0
© 2018–2024 ООО «Яндекс»
ООО «Яндекс» не оказывает образовательных услуг